Номер 4.121, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.121. Упростите выражения:

1) $\frac{1 + \cos 42^{\circ}}{1 - \cos 42^{\circ}}$;

2) $\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) - \sin^2 x$;

3) $\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}$;

4) $\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами понижения степени (или формулами косинуса двойного угла, выраженными через половинный угол): $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$ и $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. В нашем случае угол $2\alpha = 42^\circ$, следовательно, половинный угол $\alpha = 21^\circ$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos 42^\circ}{1 - \cos 42^\circ} = \frac{2\cos^2 21^\circ}{2\sin^2 21^\circ}$

Сократим множитель 2 в числителе и знаменателе. Отношение квадрата косинуса к квадрату синуса одного и того же угла равно квадрату котангенса этого угла:

$\frac{\cos^2 21^\circ}{\sin^2 21^\circ} = \left(\frac{\cos 21^\circ}{\sin 21^\circ}\right)^2 = \cot^2 21^\circ$

Ответ: $\cot^2 21^\circ$.

2) Сначала упростим множитель $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$. Для этого воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Чтобы доказать это тождество, представим тангенс как отношение синуса к косинусу и применим формулы разности углов:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})} = \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}$

Возведем полученное выражение в квадрат:

$\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2}{(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2} = \frac{\cos^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$

Теперь подставим это тождество в исходное выражение:

$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} - \sin^2 x$

Произведение дробей равно 1, так как числитель первой дроби сокращается со знаменателем второй, а знаменатель первой — с числителем второй.

$1 - \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

Ответ: $\cos^2 x$.

3) Для упрощения этого выражения используем формулу косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$. Подставим это выражение в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель: $1 - 2\cos\frac{x}{2} + \cos x = 1 - 2\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} - 1)$.

Преобразуем знаменатель: $1 + 2\cos\frac{x}{2} + \cos x = 1 + 2\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} + 1)$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} - 1)}{2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} + 1)} = \frac{\cos\frac{x}{2} - 1}{\cos\frac{x}{2} + 1}$

Вынесем знак минус в числителе: $\frac{-(1 - \cos\frac{x}{2})}{1 + \cos\frac{x}{2}}$.

Применим формулы половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \frac{x}{2}$.

$-\frac{2\sin^2(\frac{x/2}{2})}{2\cos^2(\frac{x/2}{2})} = -\frac{2\sin^2\frac{x}{4}}{2\cos^2\frac{x}{4}} = -\left(\frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}}\right)^2 = -\text{tg}^2\frac{x}{4}$

Ответ: $-\text{tg}^2\frac{x}{4}$.

4) В этом выражении используем другую формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$. Подставим её в числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель: $1 - 2\sin\frac{x}{2} - \cos x = 1 - 2\sin\frac{x}{2} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{2}) = 1 - 2\sin\frac{x}{2} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} - 1)$.

Преобразуем знаменатель: $1 + 2\sin\frac{x}{2} - \cos x = 1 + 2\sin\frac{x}{2} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{2}) = 1 + 2\sin\frac{x}{2} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} + 1)$.

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} - 1)}{2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} + 1)} = \frac{\sin\frac{x}{2} - 1}{\sin\frac{x}{2} + 1}$

Вынесем знак минус в числителе, чтобы привести выражение к известному виду: $\frac{-(1 - \sin\frac{x}{2})}{1 + \sin\frac{x}{2}}$.

Воспользуемся тождеством из пункта 2: $\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.

$-\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x/2}{2}\right) = -\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right)$

Ответ: $-\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right)$.