Номер 4.127, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.127. Упростите выражения:

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha;$

2) $\sin^2\gamma\text{tg}\gamma - \cos^2\gamma\text{ctg}\gamma + 2\text{ctg}2\gamma;$

3) $\frac{1}{\text{tg}^2 x} - \frac{2\cos2x}{1 + \sin(2x + 1,5\pi)};$

4) $\frac{1}{1 - \text{tg}x} - \frac{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\sin x}{\cos 2x}.$

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Сначала преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.

Теперь представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{1}{8}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{8}\cos(4\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$. Для нашего случая, где $x=2\alpha$, получаем $\cos(4\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{8}(1 - 2\sin^2(2\alpha)) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{2}{8}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

2) $\sin^2\gamma\tan\gamma - \cos^2\gamma\cot\gamma + 2\cot(2\gamma)$

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $\cot(2\gamma) = \frac{\cot^2\gamma - 1}{2\cot\gamma}$.

Отсюда $2\cot(2\gamma) = \frac{\cot^2\gamma - 1}{\cot\gamma} = \frac{\cot^2\gamma}{\cot\gamma} - \frac{1}{\cot\gamma} = \cot\gamma - \tan\gamma$.

Подставим это выражение в исходное:

$\sin^2\gamma\tan\gamma - \cos^2\gamma\cot\gamma + \cot\gamma - \tan\gamma$

Сгруппируем слагаемые с $\tan\gamma$ и $\cot\gamma$:

$\tan\gamma(\sin^2\gamma - 1) + \cot\gamma(1 - \cos^2\gamma)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Из него следуют два равенства: $\sin^2\gamma - 1 = -\cos^2\gamma$ и $1 - \cos^2\gamma = \sin^2\gamma$.

Подставим их в наше выражение:

$\tan\gamma(-\cos^2\gamma) + \cot\gamma(\sin^2\gamma)$

Теперь заменим $\tan\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}$ и $\cot\gamma = \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}$:

$\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}(-\cos^2\gamma) + \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}(\sin^2\gamma) = -\sin\gamma\cos\gamma + \cos\gamma\sin\gamma = 0$.

Ответ: $0$

3) $\frac{1}{\tan^2x} - \frac{2\cos(2x)}{1 + \sin(2x + 1,5\pi)}$

Упростим знаменатель второй дроби, используя формулу приведения. Заметим, что $1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.

$\sin(2x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(2x)$.

Тогда знаменатель второй дроби равен $1 - \cos(2x)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{\tan^2x} - \frac{2\cos(2x)}{1 - \cos(2x)}$.

Воспользуемся формулой $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Также заменим $\frac{1}{\tan^2x} = \cot^2x = \frac{\cos^2x}{\sin^2x}$.

Подставляем эти выражения:

$\frac{\cos^2x}{\sin^2x} - \frac{2\cos(2x)}{2\sin^2x} = \frac{\cos^2x - \cos(2x)}{\sin^2x}$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$.

$\frac{\cos^2x - (\cos^2x - \sin^2x)}{\sin^2x} = \frac{\cos^2x - \cos^2x + \sin^2x}{\sin^2x} = \frac{\sin^2x}{\sin^2x} = 1$.

Ответ: $1$

4) $\frac{1}{1 - \tan x} - \frac{\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + x)\sin x}{\cos(2x)}$

Упростим числитель второй дроби, используя формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin(\frac{\pi}{4} + x) = \sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Тогда числитель второй дроби: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) \cdot \sin x = (\cos x + \sin x)\sin x$.

Теперь преобразуем все выражение. Заменим $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ в первой дроби и $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ во второй.

$\frac{1}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{\cos^2x - \sin^2x}$

Упростим первую дробь:

$\frac{1}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\cos x - \sin x}$.

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $\cos^2x - \sin^2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\cos x}{\cos x - \sin x} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$:

$\frac{\cos x(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Объединим числители под одной чертой:

$\frac{\cos x(\cos x + \sin x) - \sin x(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ в числителе:

$\frac{(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Сократим дробь, что дает $1$.

Ответ: $1$