Номер 4.131, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.131. Разложите на множители:

1) $sin3\alpha + sin\alpha;$

2) $cos2\alpha + cos3\alpha;$

3) $cosx - cos3x;$

4) $siny - sin5y.$

1) Для разложения на множители выражения $ \sin3\alpha + \sin\alpha $ воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = 3\alpha $ и $ B = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin3\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin2\alpha \cos\alpha $.

Ответ: $ 2 \sin2\alpha \cos\alpha $.

2) Для разложения на множители выражения $ \cos2\alpha + \cos3\alpha $ воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.

Так как сложение коммутативно, для удобства возьмем $ A = 3\alpha $ и $ B = 2\alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos3\alpha + \cos2\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $.

3) Для разложения на множители выражения $ \cos x - \cos3x $ воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = x $ и $ B = 3x $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos x - \cos3x = -2 \sin\frac{x+3x}{2} \sin\frac{x-3x}{2} = -2 \sin\frac{4x}{2} \sin\frac{-2x}{2} = -2 \sin(2x) \sin(-x) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получаем:

$ -2 \sin(2x) (-\sin x) = 2 \sin(2x) \sin x $.

Ответ: $ 2 \sin(2x) \sin x $.

4) Для разложения на множители выражения $ \sin y - \sin5y $ воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = y $ и $ B = 5y $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin y - \sin5y = 2 \cos\frac{y+5y}{2} \sin\frac{y-5y}{2} = 2 \cos\frac{6y}{2} \sin\frac{-4y}{2} = 2 \cos(3y) \sin(-2y) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получаем:

$ 2 \cos(3y) (-\sin(2y)) = -2 \cos(3y) \sin(2y) $.

Ответ: $ -2 \cos(3y) \sin(2y) $.