Номер 4.133, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.133. Представьте в виде произведения:

1) $\cos x + \sin y$;

2) $\sin x - \cos y$;

3) $\sin^2 x - \sin^2 y$;

4) $\cos^2 x - \cos^2 y$;

5) $\sin^2 x - \cos^2 y$;

6) $\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y$.

1) Для преобразования суммы в произведение приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $\sin y = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\cos x + \sin y = \cos x + \cos(\frac{\pi}{2} - y)$

Теперь воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - y$.

$\cos x + \cos(\frac{\pi}{2} - y) = 2\cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{2} - y}{2}\right)\cos\left(\frac{x - (\frac{\pi}{2} - y)}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $2\cos(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4})$.

2) Используем формулу приведения, чтобы привести функции к одному наименованию: $\cos y = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\sin x - \cos y = \sin x - \sin(\frac{\pi}{2} - y)$

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - y$.

$\sin x - \sin(\frac{\pi}{2} - y) = 2\sin\left(\frac{x - (\frac{\pi}{2} - y)}{2}\right)\cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{2} - y}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $2\sin(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4})$.

3) Воспользуемся формулами понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

$\sin^2 x - \sin^2 y = \frac{1-\cos(2x)}{2} - \frac{1-\cos(2y)}{2} = \frac{1-\cos(2x)-1+\cos(2y)}{2} = \frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2}$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2} = \frac{-2\sin\frac{2y+2x}{2}\sin\frac{2y-2x}{2}}{2} = -\sin(y+x)\sin(y-x)$

Так как $\sin(y-x) = -\sin(x-y)$, то получаем:

$-\sin(x+y)(-\sin(x-y)) = \sin(x+y)\sin(x-y)$

Ответ: $\sin(x+y)\sin(x-y)$.

4) Воспользуемся формулами понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$\cos^2 x - \cos^2 y = \frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{1+\cos(2x)-1-\cos(2y)}{2} = \frac{\cos(2x)-\cos(2y)}{2}$

Теперь применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\frac{\cos(2x)-\cos(2y)}{2} = \frac{-2\sin\frac{2x+2y}{2}\sin\frac{2x-2y}{2}}{2} = -\sin(x+y)\sin(x-y)$

Ответ: $-\sin(x+y)\sin(x-y)$.

5) Используем формулы понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 y = \frac{1+\cos(2y)}{2}$.

$\sin^2 x - \cos^2 y = \frac{1-\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{1-\cos(2x)-1-\cos(2y)}{2} = \frac{-\cos(2x)-\cos(2y)}{2}$

$= -\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2}$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-\frac{2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2}}{2} = -\cos(x+y)\cos(x-y)$

Ответ: $-\cos(x+y)\cos(x-y)$.

6) Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$\tan x - \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}$

Выражение в числителе является формулой синуса разности: $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$

Ответ: $\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.