Номер 4.139, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.139. Напишите в виде произведения:

1) $\sqrt{2} - 2\cos\beta$;

2) $0.5 + \sin\beta$.

1) Для того чтобы преобразовать выражение $\sqrt{2-2\cos\beta}$ в произведение, выполним следующие шаги.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки под знаком корня:
$\sqrt{2(1-\cos\beta)}$
Далее используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $1-\cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Подставим это тождество в наше выражение:
$\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Теперь извлечем квадратный корень. Важно помнить, что $\sqrt{a^2}=|a|$, поэтому:
$\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = 2\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|$
Знак модуля необходим, так как значение $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$ может быть отрицательным, а результат извлечения арифметического квадратного корня всегда неотрицателен.
Ответ: $2\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|$

2) Чтобы представить сумму $0,5+\sin\beta$ в виде произведения, представим число 0,5 как значение тригонометрической функции. Мы знаем, что $0,5 = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Заменим 0,5 в исходном выражении:
$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\beta$
Теперь применим формулу для преобразования суммы синусов в произведение:
$\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$
В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \beta$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\beta}{2}\right)$
Упростим аргументы синуса и косинуса:
$2\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\beta}{2}\right)$
Ответ: $2\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\beta}{2}\right)$