Номер 4.142, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.142. Докажите формулы:

1) $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$;

2) $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}$;

4) $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\operatorname{ctg}^3\alpha - 3\operatorname{ctg}\alpha}{3\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}$

1) Для доказательства формулы тройного угла для синуса $sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha$ представим $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой синуса суммы и формулами двойного угла.
Формула синуса суммы: $sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$.
Формулы двойного угла: $sin(2\alpha)=2sin\alpha cos\alpha$ и $cos(2\alpha)=cos^2\alpha-sin^2\alpha$.
Основное тригонометрическое тождество: $cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$.

$sin(3\alpha) = sin(2\alpha+\alpha) = sin(2\alpha)cos\alpha + cos(2\alpha)sin\alpha$
Подставим формулы двойного угла:
$= (2sin\alpha cos\alpha)cos\alpha + (cos^2\alpha-sin^2\alpha)sin\alpha$
$= 2sin\alpha cos^2\alpha + sin\alpha cos^2\alpha - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha cos^2\alpha - sin^3\alpha$
Теперь заменим $cos^2\alpha$ на $1-sin^2\alpha$, чтобы выразить все через $sin\alpha$:
$= 3sin\alpha (1-sin^2\alpha) - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha - 3sin^3\alpha - sin^3\alpha$
$= 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$
Таким образом, мы доказали, что $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.

Ответ: Формула доказана.

2) Для доказательства формулы тройного угла для косинуса $cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha$ представим $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой косинуса суммы и формулами двойного угла.
Формула косинуса суммы: $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$.
Формулы двойного угла: $cos(2\alpha)=2cos^2\alpha-1$ и $sin(2\alpha)=2sin\alpha cos\alpha$.
Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha=1-cos^2\alpha$.

$cos(3\alpha) = cos(2\alpha+\alpha) = cos(2\alpha)cos\alpha - sin(2\alpha)sin\alpha$
Подставим формулы двойного угла (используем формулу для $cos(2\alpha)$ через косинус, так как итоговое выражение должно содержать только косинусы):
$= (2cos^2\alpha-1)cos\alpha - (2sin\alpha cos\alpha)sin\alpha$
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha sin^2\alpha$
Теперь заменим $sin^2\alpha$ на $1-cos^2\alpha$, чтобы выразить все через $cos\alpha$:
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha(1-cos^2\alpha)$
$= 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha + 2cos^3\alpha$
$= 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$
Таким образом, мы доказали, что $cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.

Ответ: Формула доказана.

3) Для доказательства формулы тройного угла для тангенса $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$ представим $3\alpha$ как $2\alpha+\alpha$ и воспользуемся формулой тангенса суммы и тангенса двойного угла.
Формула тангенса суммы: $tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx \cdot tgy}$.
Формула тангенса двойного угла: $tg(2\alpha)=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$.

$tg(3\alpha) = tg(2\alpha+\alpha) = \frac{tg(2\alpha)+tg\alpha}{1-tg(2\alpha) \cdot tg\alpha}$
Подставим формулу для $tg(2\alpha)$:
$= \frac{\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}+tg\alpha}{1-\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha} \cdot tg\alpha}$
Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель дроби:
$= \frac{\frac{2tg\alpha + tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-tg^2\alpha-2tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
Раскроем скобки и упростим:
$= \frac{\frac{2tg\alpha + tg\alpha-tg^3\alpha}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-3tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
$= \frac{\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-tg^2\alpha}}{\frac{1-3tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}}$
Сократим дробь на $(1-tg^2\alpha)$:
$= \frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$
Таким образом, мы доказали, что $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}$.

Ответ: Формула доказана.

4) Для доказательства формулы тройного угла для котангенса $ctg3\alpha = \frac{ctg^3\alpha-3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha-1}$ воспользуемся связью котангенса и тангенса $ctg(3\alpha)=\frac{1}{tg(3\alpha)}$ и уже доказанной формулой для $tg(3\alpha)$.
$ctg(3\alpha) = \frac{1}{tg(3\alpha)} = \frac{1}{\frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}} = \frac{1-3tg^2\alpha}{3tg\alpha - tg^3\alpha}$
Теперь заменим $tg\alpha$ на $\frac{1}{ctg\alpha}$:
$= \frac{1-3(\frac{1}{ctg\alpha})^2}{3(\frac{1}{ctg\alpha}) - (\frac{1}{ctg\alpha})^3} = \frac{1-\frac{3}{ctg^2\alpha}}{\frac{3}{ctg\alpha} - \frac{1}{ctg^3\alpha}}$
Умножим числитель и знаменатель дроби на $ctg^3\alpha$, чтобы избавиться от дробей:
$= \frac{(1-\frac{3}{ctg^2\alpha}) \cdot ctg^3\alpha}{(\frac{3}{ctg\alpha} - \frac{1}{ctg^3\alpha}) \cdot ctg^3\alpha}$
$= \frac{ctg^3\alpha - \frac{3ctg^3\alpha}{ctg^2\alpha}}{\frac{3ctg^3\alpha}{ctg\alpha} - \frac{ctg^3\alpha}{ctg^3\alpha}}$
$= \frac{ctg^3\alpha - 3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha - 1}$
Таким образом, мы доказали, что $ctg3\alpha = \frac{ctg^3\alpha-3ctg\alpha}{3ctg^2\alpha-1}$.

Ответ: Формула доказана.