Номер 4.143, страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.143. Докажите тождества:

1) $ \frac{\sin 5\varphi - 2\sin 3\varphi \cos 3\varphi}{1 - \cos 5\varphi - 2\sin^2 3\varphi} = \cot 5\varphi; $

2) $ \frac{2\cos^2 2\alpha + \cos 5\alpha - 1}{\sin 5\alpha + 2\cos 2\alpha \sin 2\alpha} = \cot 5\alpha; $

3) $ \frac{\sin 4\beta + 2\sin 2\beta}{2(\cos \beta + \cos 3\beta)} = \cos \beta \tan 2\beta; $

4) $ \frac{2\cos \psi + \cos 3\psi + \cos 5\psi}{\cos 3\psi + \sin \psi \sin 2\psi} = 4\cos 2\psi. $

1)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого используем формулы синуса и косинуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ и $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha $.

В числителе: $ 2 \sin 3\phi \cos 3\phi = \sin(2 \cdot 3\phi) = \sin 6\phi $.

В знаменателе: $ 2 \sin^2 3\phi = 1 - \cos(2 \cdot 3\phi) = 1 - \cos 6\phi $.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{1 - \cos 5\phi - (1 - \cos 6\phi)} = \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{1 - \cos 5\phi - 1 + \cos 6\phi} = \frac{\sin 5\phi - \sin 6\phi}{\cos 6\phi - \cos 5\phi} $

Теперь применим формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

Получаем:

$ \frac{2 \cos\frac{5\phi+6\phi}{2} \sin\frac{5\phi-6\phi}{2}}{-2 \sin\frac{6\phi+5\phi}{2} \sin\frac{6\phi-5\phi}{2}} = \frac{2 \cos(5,5\phi) \sin(-0,5\phi)}{-2 \sin(5,5\phi) \sin(0,5\phi)} $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, выражение упрощается:

$ \frac{-2 \cos(5,5\phi) \sin(0,5\phi)}{-2 \sin(5,5\phi) \sin(0,5\phi)} = \frac{\cos(5,5\phi)}{\sin(5,5\phi)} = \operatorname{ctg}(5,5\phi) $

Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы двойного угла: $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2\alpha - 1 $ и $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

В числителе: $ 2 \cos^2 2\alpha - 1 = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha $. Тогда числитель равен $ \cos 4\alpha + \cos 5\alpha $.

В знаменателе: $ 2 \cos 2\alpha \sin 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $. Тогда знаменатель равен $ \sin 5\alpha + \sin 4\alpha $.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{\cos 5\alpha + \cos 4\alpha}{\sin 5\alpha + \sin 4\alpha} $

Применим формулы преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Получаем:

$ \frac{2 \cos\frac{5\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-4\alpha}{2}}{2 \sin\frac{5\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-4\alpha}{2}} = \frac{2 \cos(4,5\alpha) \cos(0,5\alpha)}{2 \sin(4,5\alpha) \cos(0,5\alpha)} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos(0,5\alpha) $:

$ \frac{\cos(4,5\alpha)}{\sin(4,5\alpha)} = \operatorname{ctg}(4,5\alpha) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Начнем с числителя. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta $:

$ \sin 4\beta + 2 \sin 2\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta + 2 \sin 2\beta = 2 \sin 2\beta (1 + \cos 2\beta) $

Используем формулу $ 1 + \cos 2\beta = 2 \cos^2\beta $, тогда числитель равен $ 2 \sin 2\beta \cdot 2 \cos^2\beta = 4 \sin 2\beta \cos^2\beta $.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:

$ \cos\beta + \cos 3\beta = 2 \cos\frac{\beta+3\beta}{2} \cos\frac{3\beta-\beta}{2} = 2 \cos 2\beta \cos\beta $

Тогда весь знаменатель равен $ 2(2 \cos 2\beta \cos\beta) = 4 \cos 2\beta \cos\beta $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{4 \sin 2\beta \cos^2\beta}{4 \cos 2\beta \cos\beta} $

Сокращаем общие множители $ 4 $ и $ \cos\beta $:

$ \frac{\sin 2\beta \cos\beta}{\cos 2\beta} = \cos\beta \cdot \frac{\sin 2\beta}{\cos 2\beta} = \cos\beta \operatorname{tg} 2\beta $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. В числителе сгруппируем $ \cos 5\psi $ и $ \cos 3\psi $ и применим формулу суммы косинусов:

$ (\cos 5\psi + \cos 3\psi) + 2 \cos\psi = 2 \cos\frac{5\psi+3\psi}{2} \cos\frac{5\psi-3\psi}{2} + 2 \cos\psi = 2 \cos 4\psi \cos\psi + 2 \cos\psi $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos\psi $:

$ 2 \cos\psi (1 + \cos 4\psi) $

Используем формулу $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2\alpha $, где $ \alpha=2\psi $:

$ 2 \cos\psi (2 \cos^2 2\psi) = 4 \cos\psi \cos^2 2\psi $

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:

$ \cos 3\psi = \cos(2\psi + \psi) = \cos 2\psi \cos\psi - \sin 2\psi \sin\psi $

Подставим это в знаменатель:

$ \cos 3\psi + \sin\psi \sin 2\psi = (\cos 2\psi \cos\psi - \sin 2\psi \sin\psi) + \sin\psi \sin 2\psi = \cos 2\psi \cos\psi $

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{4 \cos\psi \cos^2 2\psi}{\cos 2\psi \cos\psi} $

Сокращаем общие множители $ \cos\psi $ и $ \cos 2\psi $:

$ 4 \cos 2\psi $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.