Номер 4.136, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.136. Разложите на множители:

1) $1 + \cos\beta + \cos\frac{\beta}{2}$;

2) $3 - \text{tg}^2\beta$;

3) $\cos\beta - \sin\beta \sin2\beta$;

4) $\text{ctg}^2\beta - 3$;

5) $\cos\beta + \sin2\beta - \cos3\beta$;

6) $1 - \text{tg}\beta + \frac{1}{\cos\beta}$;

7) $3 - 4\sin^2\beta$;

8) $1 - 4\cos^2\beta$.

1) Для разложения на множители выражения $1 + \cos\beta + \cos\frac{\beta}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos\beta = 2\cos^2\frac{\beta}{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$2\cos^2\frac{\beta}{2} + \cos\frac{\beta}{2}$
Теперь вынесем общий множитель $\cos\frac{\beta}{2}$ за скобки:
$\cos\frac{\beta}{2}(2\cos\frac{\beta}{2} + 1)$
Ответ: $2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} + \frac{1}{2})$ или $\cos\frac{\beta}{2}(2\cos\frac{\beta}{2} + 1)$.

2) Выражение $3 - \tg^2\beta$ представляет собой разность квадратов. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$3 - \tg^2\beta = (\sqrt{3})^2 - \tg^2\beta$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\sqrt{3} - \tg\beta)(\sqrt{3} + \tg\beta)$
Ответ: $(\sqrt{3} - \tg\beta)(\sqrt{3} + \tg\beta)$.

3) В выражении $\cos\beta - \sin\beta \sin2\beta$ применим формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$.
$\cos\beta - \sin\beta (2\sin\beta\cos\beta) = \cos\beta - 2\sin^2\beta\cos\beta$
Вынесем общий множитель $\cos\beta$ за скобки:
$\cos\beta(1 - 2\sin^2\beta)$
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $1 - 2\sin^2\beta = \cos2\beta$.
Таким образом, получаем:
$\cos\beta\cos2\beta$
Ответ: $\cos\beta\cos2\beta$.

4) Выражение $\ctg^2\beta - 3$ является разностью квадратов. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$\ctg^2\beta - 3 = \ctg^2\beta - (\sqrt{3})^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$(\ctg\beta - \sqrt{3})(\ctg\beta + \sqrt{3})$
Ответ: $(\ctg\beta - \sqrt{3})(\ctg\beta + \sqrt{3})$.

5) Сгруппируем члены в выражении $\cos\beta + \sin2\beta - \cos3\beta$ следующим образом:
$(\cos\beta - \cos3\beta) + \sin2\beta$
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos\beta - \cos3\beta = -2\sin\frac{\beta+3\beta}{2}\sin\frac{\beta-3\beta}{2} = -2\sin2\beta\sin(-\beta) = 2\sin\beta\sin2\beta$
Подставим результат в исходное выражение:
$2\sin\beta\sin2\beta + \sin2\beta$
Вынесем общий множитель $\sin2\beta$ за скобки:
$\sin2\beta(2\sin\beta + 1)$
Ответ: $\sin2\beta(2\sin\beta + 1)$.

6) Преобразуем выражение $1 - \tg\beta + \frac{1}{\cos\beta}$, приведя все к общему знаменателю $\cos\beta$. Для этого заменим $\tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.
$1 - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{1}{\cos\beta} = \frac{\cos\beta - \sin\beta + 1}{\cos\beta}$
Теперь разложим на множители числитель $1 + \cos\beta - \sin\beta$. Используем формулы половинного угла:
$1 + \cos\beta = 2\cos^2\frac{\beta}{2}$
$\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Числитель принимает вид:
$2\cos^2\frac{\beta}{2} - 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\beta}{2}$:
$2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})$
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})}{\cos\beta}$
Ответ: $\frac{2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})}{\cos\beta}$.

7) Выражение $3 - 4\sin^2\beta$ можно преобразовать, используя формулу синуса тройного угла $\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$.
Если $\sin\beta \neq 0$, мы можем умножить и разделить выражение на $\sin\beta$:
$3 - 4\sin^2\beta = \frac{\sin\beta(3 - 4\sin^2\beta)}{\sin\beta} = \frac{3\sin\beta - 4\sin^3\beta}{\sin\beta}$
Числитель дроби равен $\sin3\beta$.
Следовательно, выражение можно представить в виде:
$\frac{\sin3\beta}{\sin\beta}$
Это является формой разложения, так как сумма преобразована в отношение тригонометрических функций.
Другой способ - разность квадратов: $3 - 4\sin^2\beta = (\sqrt{3})^2 - (2\sin\beta)^2 = (\sqrt{3} - 2\sin\beta)(\sqrt{3} + 2\sin\beta)$.
Ответ: $\frac{\sin3\beta}{\sin\beta}$ (при $\sin\beta \neq 0$) или $(\sqrt{3} - 2\sin\beta)(\sqrt{3} + 2\sin\beta)$.

8) Выражение $1 - 4\cos^2\beta$ является разностью квадратов.
$1 - 4\cos^2\beta = 1^2 - (2\cos\beta)^2$
Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$(1 - 2\cos\beta)(1 + 2\cos\beta)$
Ответ: $(1 - 2\cos\beta)(1 + 2\cos\beta)$.