Номер 4.130, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.130. Напишите выражения в виде произведения:

1) $ \sin 15^{\circ} + \cos 65^{\circ} $;

2) $ \cos 40^{\circ} - \sin 16^{\circ} $;

3) $ \cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ} $;

4) $ \sin 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} $;

5) $ \cos 18^{\circ} - \sin 22^{\circ} $;

6) $ \cos 36^{\circ} + \sin 36^{\circ} $.

1) Для преобразования суммы в произведение, приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции, например, к синусу. Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin25^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \sin15^\circ + \sin25^\circ $.
Теперь применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \sin15^\circ + \sin25^\circ = 2\sin\frac{15^\circ+25^\circ}{2}\cos\frac{15^\circ-25^\circ}{2} = 2\sin\frac{40^\circ}{2}\cos\frac{-10^\circ}{2} = 2\sin20^\circ\cos(-5^\circ) $.
Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем $ 2\sin20^\circ\cos5^\circ $.
Ответ: $ 2\sin20^\circ\cos5^\circ $.

2) Приведем оба члена выражения к одной функции, например, к косинусу. Используем формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin16^\circ = \cos(90^\circ - 16^\circ) = \cos74^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos40^\circ - \cos74^\circ $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos40^\circ - \cos74^\circ = -2\sin\frac{40^\circ+74^\circ}{2}\sin\frac{40^\circ-74^\circ}{2} = -2\sin\frac{114^\circ}{2}\sin\frac{-34^\circ}{2} = -2\sin57^\circ\sin(-17^\circ) $.
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), получаем $ -2\sin57^\circ(-\sin17^\circ) = 2\sin57^\circ\sin17^\circ $.
Ответ: $ 2\sin57^\circ\sin17^\circ $.

3) Приведем оба слагаемых к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin80^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \cos10^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos50^\circ + \cos10^\circ $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos50^\circ + \cos10^\circ = 2\cos\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2} = 2\cos\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\cos30^\circ\cos20^\circ $.
Так как $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, подставляем это значение: $ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos20^\circ = \sqrt{3}\cos20^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3}\cos20^\circ $.

4) Приведем оба члена выражения к синусам, используя формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin50^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \sin40^\circ - \sin50^\circ $.
Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.
$ \sin40^\circ - \sin50^\circ = 2\sin\frac{40^\circ-50^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ+50^\circ}{2} = 2\sin\frac{-10^\circ}{2}\cos\frac{90^\circ}{2} = 2\sin(-5^\circ)\cos45^\circ $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $ и $ \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем $ 2(-\sin5^\circ)\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\sin5^\circ $.
Ответ: $ -\sqrt{2}\sin5^\circ $.

5) Приведем оба члена выражения к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin22^\circ = \cos(90^\circ - 22^\circ) = \cos68^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos18^\circ - \cos68^\circ $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos18^\circ - \cos68^\circ = -2\sin\frac{18^\circ+68^\circ}{2}\sin\frac{18^\circ-68^\circ}{2} = -2\sin\frac{86^\circ}{2}\sin\frac{-50^\circ}{2} = -2\sin43^\circ\sin(-25^\circ) $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем $ -2\sin43^\circ(-\sin25^\circ) = 2\sin43^\circ\sin25^\circ $.
Ответ: $ 2\sin43^\circ\sin25^\circ $.

6) Приведем оба слагаемых к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin36^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos54^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos36^\circ + \cos54^\circ $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos36^\circ + \cos54^\circ = 2\cos\frac{36^\circ+54^\circ}{2}\cos\frac{36^\circ-54^\circ}{2} = 2\cos\frac{90^\circ}{2}\cos\frac{-18^\circ}{2} = 2\cos45^\circ\cos(-9^\circ) $.
Так как $ \cos(-x)=\cos(x) $ и $ \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем $ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos9^\circ = \sqrt{2}\cos9^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{2}\cos9^\circ $.