Номер 4.129, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.129. Напишите в виде произведения:

1) $ \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{\pi}{5}; $

2) $ \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4}; $

3) $ \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \cos \alpha; $

4) $ \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right); $

5) $ \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{9}; $

6) $ \sin \alpha - \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right). $

1) Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(x) + sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{2\pi}{5}$ и $y = \frac{\pi}{5}$.

Подставим значения в формулу:

$sin\frac{2\pi}{5} + sin\frac{\pi}{5} = 2sin\left(\frac{\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{2\pi}{5}-\frac{\pi}{5}}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\frac{3\pi}{5}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{\pi}{5}}{2}\right) = 2sin\frac{3\pi}{10}cos\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $2sin\frac{3\pi}{10}cos\frac{\pi}{10}$.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos(x) + cos(y) = 2 \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{11\pi}{12}$ и $y = \frac{3\pi}{4}$. Приведем $y$ к общему знаменателю: $y = \frac{9\pi}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$cos\frac{11\pi}{12} + cos\frac{9\pi}{12} = 2cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12}-\frac{9\pi}{12}}{2}\right) = 2cos\left(\frac{\frac{20\pi}{12}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{2\pi}{12}}{2}\right) = 2cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Знаем, что $cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда выражение равно: $2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot cos\frac{\pi}{12} = -\sqrt{3}cos\frac{\pi}{12}$.

Ответ: $-\sqrt{3}cos\frac{\pi}{12}$.

3) Используем формулу суммы косинусов: $cos(x) + cos(y) = 2 \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

Здесь $x = \frac{\pi}{3} - \alpha$ и $y = \alpha$.

Подставим в формулу:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + cos\alpha = 2cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3}-\alpha)+\alpha}{2}\right)cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3}-\alpha)-\alpha}{2}\right) = 2cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}-2\alpha}{2}\right) = 2cos\frac{\pi}{6}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

Так как $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(\frac{\pi}{6}-\alpha) = \sqrt{3}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

Ответ: $\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

4) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$.

Подставляем в формулу:

$sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) - sin(\frac{\pi}{6}-\alpha) = 2sin\left(\frac{(\frac{\pi}{6}+\alpha)-(\frac{\pi}{6}-\alpha)}{2}\right)cos\left(\frac{(\frac{\pi}{6}+\alpha)+(\frac{\pi}{6}-\alpha)}{2}\right) = 2sin\frac{2\alpha}{2}cos\frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = 2sin\alpha \cdot cos\frac{\pi}{6}$.

Так как $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}sin\alpha$.

Ответ: $\sqrt{3}sin\alpha$.

5) Используем формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

Здесь $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \frac{\pi}{9}$. Приведем к общему знаменателю 18: $x = \frac{3\pi}{18}$, $y = \frac{2\pi}{18}$.

Подставляем в формулу:

$sin\frac{\pi}{6} - sin\frac{\pi}{9} = 2sin\left(\frac{\frac{3\pi}{18}-\frac{2\pi}{18}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{3\pi}{18}+\frac{2\pi}{18}}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\frac{\pi}{18}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{5\pi}{18}}{2}\right) = 2sin\frac{\pi}{36}cos\frac{5\pi}{36}$.

Ответ: $2sin\frac{\pi}{36}cos\frac{5\pi}{36}$.

6) Снова используем формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \alpha + \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$sin\alpha - sin(\alpha+\frac{\pi}{3}) = 2sin\left(\frac{\alpha-(\alpha+\frac{\pi}{3})}{2}\right)cos\left(\frac{\alpha+(\alpha+\frac{\pi}{3})}{2}\right) = 2sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right)cos\left(\frac{2\alpha+\frac{\pi}{3}}{2}\right) = 2sin(-\frac{\pi}{6})cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.

Так как $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cos(\alpha+\frac{\pi}{6}) = -cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $-cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.