Номер 4.125, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.125. Вычислите:

1) $8 \sin^2 \frac{15\pi}{16} \cdot \cos^2 \frac{17\pi}{16}$;

2) $\sin^4 \frac{23\pi}{12} - \cos^4 \frac{13\pi}{12}$;

3) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8} + \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{8}$;

4) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{8} + \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{8}$;

5) $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{11\pi}{26}$;

6) $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{7\pi}{17}$.

1) $8 \sin^2 \frac{15\pi}{16} \cdot \cos^2 \frac{17\pi}{16}$

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя формулы приведения:

$\sin \frac{15\pi}{16} = \sin(\pi - \frac{\pi}{16}) = \sin \frac{\pi}{16}$

$\cos \frac{17\pi}{16} = \cos(\pi + \frac{\pi}{16}) = -\cos \frac{\pi}{16}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8 \sin^2(\frac{\pi}{16}) \cdot (-\cos(\frac{\pi}{16}))^2 = 8 \sin^2 \frac{\pi}{16} \cos^2 \frac{\pi}{16}$

Перепишем выражение, вынеся квадрат за скобки:

$8 (\sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})^2 = 2 \cdot (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})^2$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$:

$2 \cdot (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{16}))^2 = 2 \sin^2 \frac{\pi}{8}$

Теперь применим формулу понижения степени для синуса $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$2 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{2} = 1 - \cos \frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем окончательный результат:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\sin^4 \frac{23\pi}{12} - \cos^4 \frac{13\pi}{12}$

Упростим аргументы, используя формулы приведения:

$\sin \frac{23\pi}{12} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{12}) = -\sin \frac{\pi}{12}$

$\cos \frac{13\pi}{12} = \cos(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\cos \frac{\pi}{12}$

Подставляем упрощенные значения в выражение:

$(-\sin \frac{\pi}{12})^4 - (-\cos \frac{\pi}{12})^4 = \sin^4 \frac{\pi}{12} - \cos^4 \frac{\pi}{12}$

Применим формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:

$(\sin^2 \frac{\pi}{12} - \cos^2 \frac{\pi}{12})(\sin^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{12})$

Первая скобка равна $-(\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12})$, что по формуле косинуса двойного угла равно $-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\cos \frac{\pi}{6}$.

Вторая скобка, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, равна 1.

Таким образом, получаем:

$(-\cos \frac{\pi}{6}) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) $\text{tg} \frac{7\pi}{8} + \text{ctg} \frac{7\pi}{8}$

Воспользуемся тождеством $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Подставим $\alpha = \frac{7\pi}{8}$:

$\text{tg} \frac{7\pi}{8} + \text{ctg} \frac{7\pi}{8} = \frac{2}{\sin(2 \cdot \frac{7\pi}{8})} = \frac{2}{\sin \frac{7\pi}{4}}$

Вычислим значение синуса в знаменателе, используя формулу приведения:

$\sin \frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычисляем результат:

$\frac{2}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -\frac{4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$

4) $\text{ctg} \frac{5\pi}{8} + \text{ctg} \frac{9\pi}{8}$

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

$\text{ctg} \frac{5\pi}{8} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\text{tg} \frac{\pi}{8}$

$\text{ctg} \frac{9\pi}{8} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{8}) = \text{ctg} \frac{\pi}{8}$

Выражение принимает вид:

$\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8}$

Воспользуемся тождеством $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$.

Подставим $\alpha = \frac{\pi}{8}$:

$2\text{ctg}(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 2\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

5) $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{11\pi}{26}$

В данном примере, скорее всего, допущена опечатка. В исходном виде он не упрощается до стандартного значения. Типовые задачи такого рода обычно используют соотношение $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$, которое здесь не выполняется: $\frac{2\pi}{13} + \frac{11\pi}{26} = \frac{4\pi}{26} + \frac{11\pi}{26} = \frac{15\pi}{26} \ne \frac{\pi}{2}$.

Наиболее вероятно, что второе слагаемое должно быть $\sin^2 \frac{9\pi}{26}$, так как в этом случае сумма аргументов $\frac{2\pi}{13} + \frac{9\pi}{26} = \frac{4\pi}{26} + \frac{9\pi}{26} = \frac{13\pi}{26} = \frac{\pi}{2}$.

Решим задачу с этим исправлением: $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{9\pi}{26}$.

Приведем первый аргумент к знаменателю 26: $\frac{2\pi}{13} = \frac{4\pi}{26}$.

Выражение примет вид: $\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \sin^2 \frac{9\pi}{26}$.

Поскольку $\frac{4\pi}{26} + \frac{9\pi}{26} = \frac{\pi}{2}$, мы можем выразить один из углов через другой: $\frac{9\pi}{26} = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{26}$.

Подставим это в выражение:

$\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \sin^2(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{26})$

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$, получаем:

$\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \cos^2 \frac{4\pi}{26} = 1$

Ответ: 1

6) $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{7\pi}{17}$

Приведем аргумент второго слагаемого к общему знаменателю 34:

$\frac{7\pi}{17} = \frac{14\pi}{34}$

Выражение принимает вид: $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{14\pi}{34}$.

Найдем сумму аргументов:

$\frac{3\pi}{34} + \frac{14\pi}{34} = \frac{17\pi}{34} = \frac{\pi}{2}$

Поскольку сумма аргументов равна $\frac{\pi}{2}$, мы можем выразить один аргумент через другой: $\frac{14\pi}{34} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{34}$.

Подставим это в выражение:

$\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{34})$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \sin^2 \frac{3\pi}{34}$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.

Ответ: 1