Номер 4.119, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.119. Найдите значения $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $ и $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $, если:

1) Дано $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Поскольку угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), его косинус отрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ на 2:

$ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти, поэтому его синус, косинус, тангенс и котангенс положительны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{5/\sqrt{26}}{1/\sqrt{26}} = 5 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = 5 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5} $.

2) Дано $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $ и $ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi $.

Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi $ на 2:

$ \frac{5\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в третьей четверти, поэтому его синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{-5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = 5 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = 5 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5} $.

3) Дано $ \cos\alpha = -\frac{3}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ на 2:

$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти, поэтому его синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{3}{4})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{14}/4}{-\sqrt{2}/4} = -\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{7} $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{-\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{7} $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $.

4) Дано $ \sin\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти ($ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $), его косинус отрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} $.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ на 2:

$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти, поэтому его синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = -2 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} $.