Номер 4.118, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.118. Найдите sin2α, cos2α, tg2α, если cosα=$\frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

По условию задачи дано $cos\alpha = \frac{7}{25}$ и известно, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это соответствует IV четверти координатной плоскости, где синус отрицателен ($sin\alpha < 0$), а косинус положителен ($cos\alpha > 0$).

Для нахождения искомых величин сначала найдем $sin\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.

Отсюда $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$. Поскольку угол $\alpha$ находится в IV четверти, выбираем отрицательное значение: $sin\alpha = -\frac{24}{25}$.

Теперь мы можем найти значения для синуса, косинуса и тангенса двойного угла.

sin2α

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Подставим известные значения $sin\alpha$ и $cos\alpha$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot (-\frac{24}{25}) \cdot \frac{7}{25} = -\frac{2 \cdot 24 \cdot 7}{625} = -\frac{336}{625}$.

Ответ: $sin(2\alpha) = -\frac{336}{625}$.

cos2α

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от косинуса: $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$.

Подставим известное значение $cos\alpha$:

$cos(2\alpha) = 2 \cdot (\frac{7}{25})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{625} - 1 = \frac{98}{625} - \frac{625}{625} = \frac{98 - 625}{625} = -\frac{527}{625}$.

Проверим, используя другую формулу: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

$cos(2\alpha) = (\frac{7}{25})^2 - (-\frac{24}{25})^2 = \frac{49}{625} - \frac{576}{625} = \frac{49 - 576}{625} = -\frac{527}{625}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $cos(2\alpha) = -\frac{527}{625}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти по определению тангенса: $tg(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)}$.

Подставим найденные ранее значения $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$:

$tg(2\alpha) = \frac{-336/625}{-527/625} = \frac{336}{527}$.

Ответ: $tg(2\alpha) = \frac{336}{527}$.