Номер 4.122, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.122. Выразите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\text{tg}\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$ через $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Для выражения тригонометрических функций угла $α$ через тангенс половинного угла $tg(\frac{α}{2})$ используются формулы универсальной тригонометрической подстановки. Они выводятся из формул двойного угла и основного тригонометрического тождества.

sinα

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(α) = 2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})$.
Представим это выражение в виде дроби, разделив его на 1, где $1 = sin^2(\frac{α}{2}) + cos^2(\frac{α}{2})$ (основное тригонометрическое тождество):
$sin(α) = \frac{2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})}{sin^2(\frac{α}{2}) + cos^2(\frac{α}{2})}$
Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^2(\frac{α}{2})$ (при условии, что $cos(\frac{α}{2}) \neq 0$):
$sin(α) = \frac{\frac{2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}}{\frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} + \frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}} = \frac{2\frac{sin(\frac{α}{2})}{cos(\frac{α}{2})}}{tan^2(\frac{α}{2}) + 1}$
Упрощая, получаем итоговую формулу.

Ответ: $sin(α) = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$.

cosα

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(α) = cos^2(\frac{α}{2}) - sin^2(\frac{α}{2})$.
Аналогично предыдущему пункту, разделим выражение на $1 = cos^2(\frac{α}{2}) + sin^2(\frac{α}{2})$:
$cos(α) = \frac{cos^2(\frac{α}{2}) - sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2}) + sin^2(\frac{α}{2})}$
Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^2(\frac{α}{2})$:
$cos(α) = \frac{\frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} - \frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}}{\frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} + \frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}} = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$
Таким образом, получаем формулу для косинуса.

Ответ: $cos(α) = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$.

tgα

Для тангенса можно использовать напрямую формулу двойного угла:
$tg(α) = tg(2 \cdot \frac{α}{2}) = \frac{2tg(\frac{α}{2})}{1 - tg^2(\frac{α}{2})}$
Либо можно получить тот же результат, разделив ранее найденные выражения для $sin(α)$ и $cos(α)$:
$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{\frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}}{\frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}} = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}$

Ответ: $tg(α) = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}$.

ctgα

Котангенс является обратной функцией к тангенсу, т.е. $ctg(α) = \frac{1}{tg(α)}$.
Используя полученную выше формулу для $tg(α)$, находим выражение для $ctg(α)$:
$ctg(α) = \frac{1}{\frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}} = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{2tan(\frac{α}{2})}$

Ответ: $ctg(α) = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{2tan(\frac{α}{2})}$.