Вопросы, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулы, преобразующие сумму тригонометрических функций в произведение, и докажите их.

2. Напишите формулы, преобразующие произведение тригонометрических функций в сумму, и докажите их.

3. Как можно преобразовать сумму (разность) $sin\alpha \pm cos\beta$ в произведение?

1. Напишите формулы, преобразующие сумму тригонометрических функций в произведение, и докажите их.

Основные формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

Сумма синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Сумма косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Сумма тангенсов: $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Разность тангенсов: $\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Доказательство:

Доказательство формул для синуса и косинуса основывается на формулах сложения углов:

1) $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

2) $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

3) $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

4) $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

Введем замену переменных: пусть $\alpha = x+y$ и $\beta = x-y$. Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем: $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$, $y = \frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы суммы синусов:

Сложим почленно равенства (1) и (2): $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x \cos y$.

Подставив обратно $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы разности синусов:

Вычтем почленно из равенства (1) равенство (2): $\sin(x+y) - \sin(x-y) = 2\cos x \sin y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Доказательство формулы суммы косинусов:

Сложим почленно равенства (3) и (4): $\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы разности косинусов:

Вычтем почленно из равенства (3) равенство (4): $\cos(x+y) - \cos(x-y) = -2\sin x \sin y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формул для тангенсов:

Используем определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и приводим к общему знаменателю:

$\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

$\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

Ответ: Формулы преобразования суммы в произведение: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$; $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\tan\alpha \pm \tan\beta = \frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

2. Напишите формулы, преобразующие произведение тригонометрических функций в сумму, и докажите их.

Основные формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность):

Произведение синуса и косинуса: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$

Произведение косинусов: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$

Произведение синусов: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Доказательство:

Эти формулы являются прямым следствием формул сложения углов:

1) $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

2) $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

3) $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

4) $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Доказательство формулы для $\sin\alpha\cos\beta$:

Сложим почленно равенства (1) и (2): $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

Доказательство формулы для $\cos\alpha\cos\beta$:

Сложим почленно равенства (3) и (4): $\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.

Доказательство формулы для $\sin\alpha\sin\beta$:

Вычтем почленно из равенства (4) равенство (3): $\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Ответ: Формулы преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$; $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$; $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

3. Как можно преобразовать сумму (разность) sinα ± cosβ в произведение?

Для преобразования суммы или разности синуса и косинуса в произведение необходимо сначала привести обе функции к одному наименованию (либо к синусу, либо к косинусу) с помощью формул приведения. Наиболее часто используется формула $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Рассмотрим оба случая:

1. Преобразование суммы $\sin\alpha + \cos\beta$:

Заменяем $\cos\beta$ на $\sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$: $\sin\alpha + \cos\beta = \sin\alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Теперь применяем формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin\alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = 2\sin(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})$.

2. Преобразование разности $\sin\alpha - \cos\beta$:

Аналогично заменяем $\cos\beta$: $\sin\alpha - \cos\beta = \sin\alpha - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Теперь применяем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$:

$\sin\alpha - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})$.

Таким образом, для преобразования выражения $\sin\alpha \pm \cos\beta$ в произведение, нужно с помощью формулы приведения $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$ или $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ привести функции к одному виду, а затем применить соответствующую формулу преобразования суммы или разности в произведение.

Ответ: Сумму (разность) $\sin\alpha \pm \cos\beta$ можно преобразовать в произведение, используя формулу приведения для приведения функций к одному наименованию, например $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$, с последующим применением формул суммы/разности синусов. Полученные формулы:
$\sin\alpha + \cos\beta = 2\sin(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})$
$\sin\alpha - \cos\beta = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})$