Номер 4.132, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.132. Преобразуйте произведение в сумму:

1) $ \sin \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \sin \left( x - \frac{\pi}{8} \right) $;

2) $ \cos(x+y)\cos(x-y) $;

3) $ \sin 75^{\circ} \sin 15^{\circ} $;

4) $ \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} $;

5) $ \sin(30^{\circ}+x)\cos(30^{\circ}-x) $;

6) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} + y \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - y \right) $.

1) Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. В данном случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{8} $.Найдем разность и сумму углов:$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{8}) - (x - \frac{\pi}{8}) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{8}) + (x - \frac{\pi}{8}) = 2x $.Подставляем в формулу:$ \sin(x + \frac{\pi}{8})\sin(x - \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(2x)) $.Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos(2x)) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) $.Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) $.

2) Для преобразования произведения косинусов в сумму используем формулу $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = x+y $ и $ \beta = x-y $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (x+y) + (x-y) = 2x $.$ \alpha - \beta = (x+y) - (x-y) = 2y $.Подставляем в формулу:$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2y)) = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(2y) $.Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(2y) $.

3) Используем формулу для произведения синусов: $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. Здесь $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.Найдем разность и сумму углов:$ \alpha - \beta = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ $.$ \alpha + \beta = 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ $.Подставляем в формулу:$ \sin75^\circ\sin15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(60^\circ) - \cos(90^\circ)) $.Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \cos(90^\circ) = 0 $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4} $.Ответ: $ \frac{1}{4} $.

4) Используем формулу для произведения косинусов: $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = 40^\circ $ и $ \beta = 20^\circ $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ $.$ \alpha - \beta = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ $.Подставляем в формулу:$ \cos40^\circ\cos20^\circ = \frac{1}{2}(\cos(60^\circ) + \cos(20^\circ)) $.Так как $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos(20^\circ)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(20^\circ) $.Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(20^\circ) $.

5) Для преобразования произведения синуса на косинус используем формулу $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = 30^\circ+x $ и $ \beta = 30^\circ-x $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (30^\circ+x) + (30^\circ-x) = 60^\circ $.$ \alpha - \beta = (30^\circ+x) - (30^\circ-x) = 30^\circ+x-30^\circ+x = 2x $.Подставляем в формулу:$ \sin(30^\circ+x)\cos(30^\circ-x) = \frac{1}{2}(\sin(60^\circ) + \sin(2x)) $.Зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(2x)) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin(2x) $.Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin(2x) $.

6) Для преобразования произведения косинуса на синус используем формулу $ \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4}+y $ и $ \beta = \frac{\pi}{4}-y $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{4}+y) + (\frac{\pi}{4}-y) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $.$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{4}+y) - (\frac{\pi}{4}-y) = \frac{\pi}{4}+y-\frac{\pi}{4}+y = 2y $.Подставляем в формулу:$ \cos(\frac{\pi}{4}+y)\sin(\frac{\pi}{4}-y) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(2y)) $.Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, получаем:$ \frac{1}{2}(1 - \sin(2y)) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin(2y) $.Ответ: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin(2y) $.