Номер 4.138, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.138. Вычислите:

1) $\sin 15^\circ \cos 7^\circ - \cos 11^\circ \cos 79^\circ - \sin 4^\circ \sin 86^\circ;$

2) $\cos 17^\circ \cos 73^\circ - \cos 13^\circ \cos 21^\circ - \cos 4^\circ \cos 86^\circ.$

1) Рассмотрим выражение: $ \sin15^\circ \cos7^\circ - \cos11^\circ \cos79^\circ - \sin4^\circ \sin86^\circ $.
Для его упрощения воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $
$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $
$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $

Применим эти формулы к каждому члену выражения:
1. $ \sin15^\circ \cos7^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+7^\circ) + \sin(15^\circ-7^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) $
2. $ \cos11^\circ \cos79^\circ = \frac{1}{2}(\cos(79^\circ-11^\circ) + \cos(79^\circ+11^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos68^\circ + \cos90^\circ) $. Так как $ \cos90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos68^\circ $.
3. $ \sin4^\circ \sin86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(86^\circ-4^\circ) - \cos(86^\circ+4^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ - \cos90^\circ) $. Так как $ \cos90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos82^\circ $.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ - \cos68^\circ - \cos82^\circ) $

Теперь используем формулы приведения: $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos68^\circ = \sin(90^\circ-68^\circ) = \sin22^\circ $
$ \cos82^\circ = \sin(90^\circ-82^\circ) = \sin8^\circ $

Подставим эти значения в наше выражение:
$ \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ - \sin22^\circ - \sin8^\circ) = \frac{1}{2}(0) = 0 $

Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение: $ \cos17^\circ \cos73^\circ - \cos13^\circ \cos21^\circ - \cos4^\circ \cos86^\circ $.
Для его упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:
$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $

Применим эту формулу к каждому члену выражения:
1. $ \cos17^\circ \cos73^\circ = \frac{1}{2}(\cos(73^\circ-17^\circ) + \cos(73^\circ+17^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos56^\circ + \cos90^\circ) = \frac{1}{2}\cos56^\circ $
2. $ \cos13^\circ \cos21^\circ = \frac{1}{2}(\cos(21^\circ-13^\circ) + \cos(21^\circ+13^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos8^\circ + \cos34^\circ) $
3. $ \cos4^\circ \cos86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(86^\circ-4^\circ) + \cos(86^\circ+4^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ + \cos90^\circ) = \frac{1}{2}\cos82^\circ $

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{1}{2}\cos56^\circ - \frac{1}{2}(\cos8^\circ + \cos34^\circ) - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}(\cos56^\circ - \cos8^\circ - \cos34^\circ - \cos82^\circ) $

Сгруппируем слагаемые в скобках и применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \frac{1}{2}[(\cos56^\circ - \cos34^\circ) - (\cos8^\circ + \cos82^\circ)] $
$ \cos56^\circ - \cos34^\circ = -2\sin\frac{56^\circ+34^\circ}{2}\sin\frac{56^\circ-34^\circ}{2} = -2\sin45^\circ\sin11^\circ = -2\frac{\sqrt{2}}{2}\sin11^\circ = -\sqrt{2}\sin11^\circ $
$ \cos8^\circ + \cos82^\circ = 2\cos\frac{8^\circ+82^\circ}{2}\cos\frac{82^\circ-8^\circ}{2} = 2\cos45^\circ\cos37^\circ = 2\frac{\sqrt{2}}{2}\cos37^\circ = \sqrt{2}\cos37^\circ $

Подставим результаты в выражение:
$ \frac{1}{2}[-\sqrt{2}\sin11^\circ - \sqrt{2}\cos37^\circ] = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin11^\circ + \cos37^\circ) $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin11^\circ + \cos37^\circ) $