Номер 4.140, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.140. Докажите тождества:

1) $1 + 2 \cos 2x = 4 \cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

2) $\sqrt{3} - 2 \sin 2y = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} - y\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right)$;

3) $1 - 4 \sin^2 x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$;

4) $3 - 4 \cos^2 y = -4 \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} - y\right)$.

1) Для доказательства тождества $1 + 2 \cos 2x = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
$4 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 2 \cdot \left(2 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x)\right)$
$= 2 \left[ \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) + \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) \right]$
$= 2 \left( \cos(2x) + \cos(\frac{2\pi}{6}) \right) = 2 \left( \cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}) \right)$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, имеем:
$2 \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right) = 2 \cos(2x) + 1$.
Таким образом, $1 + 2 \cos 2x = 1 + 2 \cos 2x$. Правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sqrt{3} - 2 \sin 2y = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y) = 2 \cdot \left(2 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y)\right)$
$= 2 \left[ \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) + \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) - \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) \right]$
$= 2 \left( \sin(\frac{2\pi}{6}) + \sin(-2y) \right) = 2 \left( \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(2y) \right)$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем:
$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(2y) \right) = \sqrt{3} - 2 \sin(2y)$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $1 - 4 \sin^2 x = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) \sin(\frac{\pi}{6} + x)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу произведения синусов: $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = x$.
$4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) \sin(\frac{\pi}{6} + x) = 4 \left( \sin^2\frac{\pi}{6} - \sin^2 x \right)$.
Поскольку $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то $\sin^2\frac{\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Подставляем это значение в выражение:
$4 \left( \frac{1}{4} - \sin^2 x \right) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 \sin^2 x = 1 - 4 \sin^2 x$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $3 - 4 \cos^2 y = -4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y)$ преобразуем его правую часть.
Из предыдущего пункта известно, что $4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y) = 1 - 4 \sin^2 y$.
Тогда правая часть нашего тождества равна:
$-4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y) = -(1 - 4 \sin^2 y) = 4 \sin^2 y - 1$.
Теперь преобразуем это выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$.
$4(1 - \cos^2 y) - 1 = 4 - 4 \cos^2 y - 1 = 3 - 4 \cos^2 y$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.