Номер 4.137, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.137. Упростите выражения:

1) $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x};$

2) $\frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y};$

3) $\frac{2 \sin y - \sin 2y}{2 \sin y + \sin 2y};$

4) $\frac{\text{tg } 2y + \text{tg } y}{\text{tg } 2y - \text{tg } y};$

5) $\frac{1}{\text{tg } 2x \text{tg } x + 1};$

6) $\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\sin (x + y) - \sin (x - y)}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$, разделим числитель и знаменатель на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$). Получим: $\frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}} = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{\operatorname{tg} x + 1}$. Поскольку $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, мы можем переписать выражение в виде $\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})}{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})}$. Это формула тангенса разности $\operatorname{tg}(A - B)$. Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{4})$. Ответ: $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

2) Для выражения $\frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y}$ применим формулы преобразования суммы в произведение. Для числителя: $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$. Для знаменателя: $\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$. Подставив эти формулы в исходное выражение, получим: $\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}$. Сократив общие множители $2$ и $\cos(\frac{x-y}{2})$, получим $\frac{\sin(\frac{x+y}{2})}{\cos(\frac{x+y}{2})}$, что равно $\operatorname{tg}(\frac{x+y}{2})$. Ответ: $\operatorname{tg}(\frac{x+y}{2})$

3) В выражении $\frac{2\sin y - \sin 2y}{2\sin y + \sin 2y}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$. Выражение примет вид: $\frac{2\sin y - 2\sin y \cos y}{2\sin y + 2\sin y \cos y}$. Вынесем за скобки общий множитель $2\sin y$ в числителе и знаменателе: $\frac{2\sin y(1 - \cos y)}{2\sin y(1 + \cos y)}$. Сократим дробь на $2\sin y$: $\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}$. Теперь применим формулы половинного угла: $1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})$ и $1 + \cos y = 2\cos^2(\frac{y}{2})$. Получаем: $\frac{2\sin^2(\frac{y}{2})}{2\cos^2(\frac{y}{2})} = \operatorname{tg}^2(\frac{y}{2})$. Ответ: $\operatorname{tg}^2(\frac{y}{2})$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{tg}2y + \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}2y - \operatorname{tg}y}$. Заменим тангенсы через отношение синуса к косинусу. В числителе: $\frac{\sin 2y}{\cos 2y} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin 2y \cos y + \cos 2y \sin y}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin(2y+y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}$. В знаменателе: $\frac{\sin 2y}{\cos 2y} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin 2y \cos y - \cos 2y \sin y}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin(2y-y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}$. Разделив преобразованный числитель на знаменатель, получим: $\frac{\frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}}{\frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}} = \frac{\sin 3y}{\sin y}$. Ответ: $\frac{\sin 3y}{\sin y}$

5) Упростим выражение $\frac{1}{\operatorname{tg}2x\operatorname{tg}x + 1}$. Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\frac{1}{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\frac{\sin x}{\cos x} + 1} = \frac{1}{\frac{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}{\cos 2x\cos x}}$. Перевернув дробь, получим: $\frac{\cos 2x\cos x}{\cos 2x\cos x + \sin 2x\sin x}$. Знаменатель является формулой косинуса разности $\cos(A-B)$. Таким образом, $\cos 2x\cos x + \sin 2x\sin x = \cos(2x-x) = \cos x$. Выражение упрощается до $\frac{\cos 2x\cos x}{\cos x}$. Сократив на $\cos x$, получаем $\cos 2x$. Ответ: $\cos 2x$

6) В выражении $\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\sin(x+y) - \sin(x-y)}$ раскроем синусы суммы и разности. Числитель: $(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = 2\sin x \cos y$. Знаменатель: $(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = 2\cos x \sin y$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y}$. После сокращения на 2, получаем $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} y$. Ответ: $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y$