Номер 4.134, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.134. Докажите тождества:

1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) $;

2) $ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} + x\right) $.

1) Для доказательства тождества $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$.

$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$.

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{(\sqrt{2})^2}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{2}{2}(\cos x + \sin x) = \cos x + \sin x$.

Правая часть тождества после преобразования стала равна левой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования правой части с использованием формулы косинуса разности и значений синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$.

2) Рассмотрим равенство $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ и преобразуем его правую часть.

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$.

$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$.

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \frac{2}{2}(\cos x - \sin x) = \cos x - \sin x$.

В результате преобразования правая часть оказалась равна $\cos x - \sin x$. Левая же часть равна $\sin x - \cos x$.

Поскольку $\sin x - \cos x = -(\cos x - \sin x)$, данное равенство не является тождеством, так как оно выполняется только для тех $x$, для которых $\sin x = \cos x$.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Правильное тождество должно содержать знак минус в правой части: $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$. Докажем это исправленное тождество.

Как мы уже показали, $\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \cos x - \sin x$.

Тогда правая часть исправленного тождества равна:

$-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.

Это выражение совпадает с левой частью. Таким образом, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена ошибка. Доказано исправленное тождество $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$.