Страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулы, преобразующие сумму тригонометрических функций в произведение, и докажите их.

2. Напишите формулы, преобразующие произведение тригонометрических функций в сумму, и докажите их.

3. Как можно преобразовать сумму (разность) $sin\alpha \pm cos\beta$ в произведение?

1. Напишите формулы, преобразующие сумму тригонометрических функций в произведение, и докажите их.

Основные формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

Сумма синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Сумма косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Сумма тангенсов: $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Разность тангенсов: $\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Доказательство:

Доказательство формул для синуса и косинуса основывается на формулах сложения углов:

1) $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

2) $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

3) $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

4) $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

Введем замену переменных: пусть $\alpha = x+y$ и $\beta = x-y$. Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем: $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$, $y = \frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы суммы синусов:

Сложим почленно равенства (1) и (2): $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x \cos y$.

Подставив обратно $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы разности синусов:

Вычтем почленно из равенства (1) равенство (2): $\sin(x+y) - \sin(x-y) = 2\cos x \sin y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Доказательство формулы суммы косинусов:

Сложим почленно равенства (3) и (4): $\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формулы разности косинусов:

Вычтем почленно из равенства (3) равенство (4): $\cos(x+y) - \cos(x-y) = -2\sin x \sin y$.

Подставив $\alpha$ и $\beta$, получаем: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Доказательство формул для тангенсов:

Используем определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и приводим к общему знаменателю:

$\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

$\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

Ответ: Формулы преобразования суммы в произведение: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$; $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$; $\tan\alpha \pm \tan\beta = \frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

2. Напишите формулы, преобразующие произведение тригонометрических функций в сумму, и докажите их.

Основные формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность):

Произведение синуса и косинуса: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$

Произведение косинусов: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$

Произведение синусов: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Доказательство:

Эти формулы являются прямым следствием формул сложения углов:

1) $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

2) $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

3) $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

4) $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Доказательство формулы для $\sin\alpha\cos\beta$:

Сложим почленно равенства (1) и (2): $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

Доказательство формулы для $\cos\alpha\cos\beta$:

Сложим почленно равенства (3) и (4): $\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.

Доказательство формулы для $\sin\alpha\sin\beta$:

Вычтем почленно из равенства (4) равенство (3): $\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$.

Разделив обе части на 2, получим: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Ответ: Формулы преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$; $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$; $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

3. Как можно преобразовать сумму (разность) sinα ± cosβ в произведение?

Для преобразования суммы или разности синуса и косинуса в произведение необходимо сначала привести обе функции к одному наименованию (либо к синусу, либо к косинусу) с помощью формул приведения. Наиболее часто используется формула $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Рассмотрим оба случая:

1. Преобразование суммы $\sin\alpha + \cos\beta$:

Заменяем $\cos\beta$ на $\sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$: $\sin\alpha + \cos\beta = \sin\alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Теперь применяем формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin\alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = 2\sin(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})$.

2. Преобразование разности $\sin\alpha - \cos\beta$:

Аналогично заменяем $\cos\beta$: $\sin\alpha - \cos\beta = \sin\alpha - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Теперь применяем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$:

$\sin\alpha - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})$.

Таким образом, для преобразования выражения $\sin\alpha \pm \cos\beta$ в произведение, нужно с помощью формулы приведения $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$ или $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ привести функции к одному виду, а затем применить соответствующую формулу преобразования суммы или разности в произведение.

Ответ: Сумму (разность) $\sin\alpha \pm \cos\beta$ можно преобразовать в произведение, используя формулу приведения для приведения функций к одному наименованию, например $\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$, с последующим применением формул суммы/разности синусов. Полученные формулы:
$\sin\alpha + \cos\beta = 2\sin(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})$
$\sin\alpha - \cos\beta = 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\pi}{4})$

Практическая работа

В учебниках, изданных ранее, часто встречаются обозначения

$sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$ (секанс) и $cosec \alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$ (косеканс). Преобразуйте сумму в произведение:

1) $sec \alpha \pm sec\beta$;

2) $cosec \alpha \pm cosec\beta$.

1) sec α ± secβ;

Для преобразования суммы и разности секансов в произведение, воспользуемся определением секанса $sec\ x = \frac{1}{\cos x}$ и формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

Преобразование суммы секансов:

$sec\ \alpha + sec\ \beta = \frac{1}{\cos\alpha} + \frac{1}{\cos\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos\beta + \cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}$

Применяем к числителю формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

Преобразование разности секансов:

$sec\ \alpha - sec\ \beta = \frac{1}{\cos\alpha} - \frac{1}{\cos\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos\beta - \cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}$

Применяем к числителю формулу разности косинусов $\cos\beta - \cos\alpha = -2\sin\frac{\beta+\alpha}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

Ответ: $sec\ \alpha + sec\ \beta = \frac{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$; $sec\ \alpha - sec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

2) cosec α ± cosecβ.

Аналогично, для преобразования суммы и разности косекансов в произведение, воспользуемся определением косеканса $cosec\ x = \frac{1}{\sin x}$ и соответствующими формулами.

Преобразование суммы косекансов:

$cosec\ \alpha + cosec\ \beta = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\sin\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin\beta + \sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}$

Применяем к числителю формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$

Преобразование разности косекансов:

$cosec\ \alpha - cosec\ \beta = \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin\beta - \sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}$

Применяем к числителю формулу разности синусов $\sin\beta - \sin\alpha = 2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\beta+\alpha}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$

Ответ: $cosec\ \alpha + cosec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$; $cosec\ \alpha - cosec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$

4.128. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 47^\circ - \cos 15^\circ $

2) $ \cos 58^\circ + \cos 24^\circ $

3) $ \sin 70^\circ + \sin 30^\circ $

4) $ \sin 17^\circ - \sin 35^\circ $

Для преобразования тригонометрических сумм и разностей в произведения используются следующие формулы:

• Сумма синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
• Разность синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
• Сумма косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
• Разность косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Применим эти формулы для решения каждого из пунктов.

1) $\cos47^\circ - \cos15^\circ$

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 47^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos47^\circ - \cos15^\circ = -2\sin\frac{47^\circ+15^\circ}{2}\sin\frac{47^\circ-15^\circ}{2} = -2\sin\frac{62^\circ}{2}\sin\frac{32^\circ}{2} = -2\sin31^\circ\sin16^\circ$.

Ответ: $-2\sin31^\circ\sin16^\circ$.

2) $\cos58^\circ + \cos24^\circ$

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 58^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos58^\circ + \cos24^\circ = 2\cos\frac{58^\circ+24^\circ}{2}\cos\frac{58^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos\frac{82^\circ}{2}\cos\frac{34^\circ}{2} = 2\cos41^\circ\cos17^\circ$.

Ответ: $2\cos41^\circ\cos17^\circ$.

3) $\sin70^\circ + \sin30^\circ$

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin70^\circ + \sin30^\circ = 2\sin\frac{70^\circ+30^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-30^\circ}{2} = 2\sin\frac{100^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\sin50^\circ\cos20^\circ$.

Ответ: $2\sin50^\circ\cos20^\circ$.

4) $\sin17^\circ - \sin35^\circ$

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 17^\circ$ и $\beta = 35^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin17^\circ - \sin35^\circ = 2\sin\frac{17^\circ-35^\circ}{2}\cos\frac{17^\circ+35^\circ}{2} = 2\sin\frac{-18^\circ}{2}\cos\frac{52^\circ}{2} = 2\sin(-9^\circ)\cos26^\circ$.

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$, выражение можно упростить:

$2\sin(-9^\circ)\cos26^\circ = -2\sin9^\circ\cos26^\circ$.

Ответ: $-2\sin9^\circ\cos26^\circ$.

4.129. Напишите в виде произведения:

1) $ \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{\pi}{5}; $

2) $ \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4}; $

3) $ \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \cos \alpha; $

4) $ \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right); $

5) $ \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{9}; $

6) $ \sin \alpha - \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right). $

1) Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(x) + sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{2\pi}{5}$ и $y = \frac{\pi}{5}$.

Подставим значения в формулу:

$sin\frac{2\pi}{5} + sin\frac{\pi}{5} = 2sin\left(\frac{\frac{2\pi}{5}+\frac{\pi}{5}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{2\pi}{5}-\frac{\pi}{5}}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\frac{3\pi}{5}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{\pi}{5}}{2}\right) = 2sin\frac{3\pi}{10}cos\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $2sin\frac{3\pi}{10}cos\frac{\pi}{10}$.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos(x) + cos(y) = 2 \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{11\pi}{12}$ и $y = \frac{3\pi}{4}$. Приведем $y$ к общему знаменателю: $y = \frac{9\pi}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$cos\frac{11\pi}{12} + cos\frac{9\pi}{12} = 2cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12}+\frac{9\pi}{12}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{11\pi}{12}-\frac{9\pi}{12}}{2}\right) = 2cos\left(\frac{\frac{20\pi}{12}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{2\pi}{12}}{2}\right) = 2cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Знаем, что $cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда выражение равно: $2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot cos\frac{\pi}{12} = -\sqrt{3}cos\frac{\pi}{12}$.

Ответ: $-\sqrt{3}cos\frac{\pi}{12}$.

3) Используем формулу суммы косинусов: $cos(x) + cos(y) = 2 \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

Здесь $x = \frac{\pi}{3} - \alpha$ и $y = \alpha$.

Подставим в формулу:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + cos\alpha = 2cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3}-\alpha)+\alpha}{2}\right)cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3}-\alpha)-\alpha}{2}\right) = 2cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}-2\alpha}{2}\right) = 2cos\frac{\pi}{6}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

Так как $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(\frac{\pi}{6}-\alpha) = \sqrt{3}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

Ответ: $\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$.

4) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$.

Подставляем в формулу:

$sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) - sin(\frac{\pi}{6}-\alpha) = 2sin\left(\frac{(\frac{\pi}{6}+\alpha)-(\frac{\pi}{6}-\alpha)}{2}\right)cos\left(\frac{(\frac{\pi}{6}+\alpha)+(\frac{\pi}{6}-\alpha)}{2}\right) = 2sin\frac{2\alpha}{2}cos\frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = 2sin\alpha \cdot cos\frac{\pi}{6}$.

Так как $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}sin\alpha$.

Ответ: $\sqrt{3}sin\alpha$.

5) Используем формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

Здесь $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \frac{\pi}{9}$. Приведем к общему знаменателю 18: $x = \frac{3\pi}{18}$, $y = \frac{2\pi}{18}$.

Подставляем в формулу:

$sin\frac{\pi}{6} - sin\frac{\pi}{9} = 2sin\left(\frac{\frac{3\pi}{18}-\frac{2\pi}{18}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{3\pi}{18}+\frac{2\pi}{18}}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\frac{\pi}{18}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{5\pi}{18}}{2}\right) = 2sin\frac{\pi}{36}cos\frac{5\pi}{36}$.

Ответ: $2sin\frac{\pi}{36}cos\frac{5\pi}{36}$.

6) Снова используем формулу разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2 \cdot sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \alpha + \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$sin\alpha - sin(\alpha+\frac{\pi}{3}) = 2sin\left(\frac{\alpha-(\alpha+\frac{\pi}{3})}{2}\right)cos\left(\frac{\alpha+(\alpha+\frac{\pi}{3})}{2}\right) = 2sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right)cos\left(\frac{2\alpha+\frac{\pi}{3}}{2}\right) = 2sin(-\frac{\pi}{6})cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.

Так как $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cos(\alpha+\frac{\pi}{6}) = -cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.

Ответ: $-cos(\alpha+\frac{\pi}{6})$.