Страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.110. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражений:

1) $sinx+cosx;$

2) $\sqrt{3} cosy-siny;$

3) $sinu-\sqrt{3} cosu;$

4) $\sqrt{2} sinx+\sqrt{6} cosx;$

5) $3sinx+4cosx;$

6) $2siny-5cosy.$

1) $\sin x+\cos x$;
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражений вида $a \sin(\alpha) + b \cos(\alpha)$ используется метод введения вспомогательного угла. Согласно этому методу, выражение преобразуется к виду $R \sin(\alpha+\phi)$ или $R \cos(\alpha-\phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Поскольку функции синуса и косинуса принимают значения на отрезке $[-1, 1]$, итоговое выражение будет принимать значения на отрезке $[-R, R]$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{a^2+b^2}$, а наибольшее — $\sqrt{a^2+b^2}$.
В данном случае $a=1$, $b=1$.
Наибольшее и наименьшее значения равны $\pm\sqrt{1^2+1^2} = \pm\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

2) $\sqrt{3} \cos y-\sin y$;
Представим выражение в виде $-\sin y + \sqrt{3} \cos y$. В этом выражении коэффициенты $a=-1$ и $b=\sqrt{3}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \pm\sqrt{1+3} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

3) $\sin u-\sqrt{3} \cos u$;
В этом выражении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \pm\sqrt{1+3} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

4) $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x$;
В этом выражении коэффициенты $a=\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{6}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2} = \pm\sqrt{2+6} = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение: $2\sqrt{2}$.

5) $3\sin x+4\cos x$;
В этом выражении коэффициенты $a=3$ и $b=4$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{3^2+4^2} = \pm\sqrt{9+16} = \pm\sqrt{25} = \pm5$.
Ответ: наименьшее значение: $-5$, наибольшее значение: $5$.

6) $2\sin y-5\cos y$.
В этом выражении коэффициенты $a=2$ и $b=-5$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{2^2+(-5)^2} = \pm\sqrt{4+25} = \pm\sqrt{29}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{29}$, наибольшее значение: $\sqrt{29}$.

4.111. Упростите выражения:

1) $\sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + \sin^2 x;$

2) $\cos^2 x + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right);$

3) $\cos(x-y)(\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y-1)+(1+\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y)\cos(x+y);$

4) $(\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y+1)\cos(x+y)+(1-\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y)\cos(x-y);$

5) $\frac{\sin^2(x-y) + \sin^2(x+y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} - \operatorname{tg}^2 x;$

6) $\operatorname{ctg}^2 x \operatorname{ctg}^2 y - \frac{\cos^2(x-y) + \cos^2(x+y)}{2\sin^2 x \sin^2 y}.$

1) Для упрощения выражения $ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + \sin^2 x $ воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к каждому слагаемому:
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} + x\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right)}{2} $
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)}{2} $
$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $

Теперь сложим полученные выражения:
$ \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)}{2} + \frac{1 - \cos(2x)}{2} $
$ = \frac{1}{2} \left( 3 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right) - \cos(2x) \right) $

Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ для первых двух косинусов в скобках:
$ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos(2x) = -\cos(2x) $

Подставим результат обратно в выражение:
$ \frac{1}{2} \left( 3 - (-\cos(2x)) - \cos(2x) \right) = \frac{1}{2} (3 + \cos(2x) - \cos(2x)) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

2) Для упрощения выражения $ \cos^2 x + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим формулу к каждому слагаемому:
$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $
$ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right)}{2} $
$ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right)}{2} $

Сложим полученные выражения:
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right)}{2} $
$ = \frac{1}{2} \left( 3 + \cos(2x) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right) \right) $

Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos(2x) = -\cos(2x) $

Подставим результат обратно в выражение:
$ \frac{1}{2} (3 + \cos(2x) - \cos(2x)) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

3) Рассмотрим выражение $ \cos(x-y)(\tan x \tan y - 1) + (1 + \tan x \tan y)\cos(x+y) $.

Преобразуем выражения в скобках, используя $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \tan x \tan y - 1 = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} - 1 = \frac{\sin x \sin y - \cos x \cos y}{\cos x \cos y} = -\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\cos x \cos y} = -\frac{\cos(x+y)}{\cos x \cos y} $
$ 1 + \tan x \tan y = 1 + \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y} $

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \cos(x-y)\left(-\frac{\cos(x+y)}{\cos x \cos y}\right) + \left(\frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y}\right)\cos(x+y) $
$ = -\frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\cos x \cos y} + \frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\cos x \cos y} = 0 $
Ответ: $ 0 $

4) Рассмотрим выражение $ (\cot x \cot y + 1)\cos(x+y) + (1 - \cot x \cot y)\cos(x-y) $.

Преобразуем выражения в скобках, используя $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ \cot x \cot y + 1 = \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} + 1 = \frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\sin x \sin y} = \frac{\cos(x-y)}{\sin x \sin y} $
$ 1 - \cot x \cot y = 1 - \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} = \frac{\sin x \sin y - \cos x \cos y}{\sin x \sin y} = -\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\sin x \sin y} = -\frac{\cos(x+y)}{\sin x \sin y} $

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \left(\frac{\cos(x-y)}{\sin x \sin y}\right)\cos(x+y) + \left(-\frac{\cos(x+y)}{\sin x \sin y}\right)\cos(x-y) $
$ = \frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\sin x \sin y} - \frac{\cos(x+y)\cos(x-y)}{\sin x \sin y} = 0 $
Ответ: $ 0 $

5) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin^2(x-y) + \sin^2(x+y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} - \tan^2 x $.

Раскроем числитель дроби, используя формулы синуса суммы и разности:
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin^2(x-y) = \sin^2 x \cos^2 y - 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x+y) = \sin^2 x \cos^2 y + 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $

Сумма этих выражений:
$ \sin^2(x-y) + \sin^2(x+y) = 2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y) $

Подставим это в дробь:
$ \frac{2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x \cos^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} + \frac{\cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \tan^2 x + \tan^2 y $

Теперь подставим результат в исходное выражение:
$ (\tan^2 x + \tan^2 y) - \tan^2 x = \tan^2 y $
Ответ: $ \tan^2 y $

6) Рассмотрим выражение $ \cot^2 x \cot^2 y - \frac{\cos^2(x-y) + \cos^2(x+y)}{2\sin^2 x \sin^2 y} $.

Раскроем числитель дроби, используя формулы косинуса суммы и разности:
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
$ \cos^2(x-y) = \cos^2 x \cos^2 y + 2\cos x \cos y \sin x \sin y + \sin^2 x \sin^2 y $
$ \cos^2(x+y) = \cos^2 x \cos^2 y - 2\cos x \cos y \sin x \sin y + \sin^2 x \sin^2 y $

Сумма этих выражений:
$ \cos^2(x-y) + \cos^2(x+y) = 2(\cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y) $

Подставим это в дробь:
$ \frac{2(\cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y)}{2\sin^2 x \sin^2 y} = \frac{\cos^2 x \cos^2 y}{\sin^2 x \sin^2 y} + \frac{\sin^2 x \sin^2 y}{\sin^2 x \sin^2 y} = \cot^2 x \cot^2 y + 1 $

Теперь подставим результат в исходное выражение:
$ \cot^2 x \cot^2 y - (\cot^2 x \cot^2 y + 1) = \cot^2 x \cot^2 y - \cot^2 x \cot^2 y - 1 = -1 $
Ответ: $ -1 $