Страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.90. Найдите значения выражений, если $\text{ctg}\alpha = -2$:

1) $\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}$;

4) $\frac{(\sin \alpha + 3 \cos \alpha) \operatorname{tg}^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.

1) Исходное выражение: $\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha}$.Так как по условию $\ctg \alpha = -2$, это означает, что $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin \alpha$:$\frac{2 \sin \alpha + 3 \cos \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} + \frac{3 \cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{5 \sin \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2 + 3 \ctg \alpha}{5 - \ctg \alpha}$.Подставим значение $\ctg \alpha = -2$ в полученное выражение:$\frac{2 + 3(-2)}{5 - (-2)} = \frac{2 - 6}{5 + 2} = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $-\frac{4}{7}$.

2) Исходное выражение: $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$.Это однородное тригонометрическое выражение второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\sin^2 \alpha$ (так как $\sin \alpha \neq 0$):$\frac{\frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{7 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{3 \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{2 \ctg^2 \alpha - 7}{3 \ctg^2 \alpha + 4 \ctg \alpha}$.Подставим значение $\ctg \alpha = -2$:$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}$.Из условия $\ctg \alpha = -2$ следует, что $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -2$, откуда $\cos \alpha = -2 \sin \alpha$.Подставим это соотношение в числитель дроби:$\cos \alpha + 2 \sin \alpha = (-2 \sin \alpha) + 2 \sin \alpha = 0$.Проверим знаменатель. Так как $\ctg \alpha$ определен, $\sin \alpha \neq 0$. Подставим $\cos \alpha = -2 \sin \alpha$ в знаменатель:$\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha = \sin^3 \alpha - 2(-2 \sin \alpha)^3 = \sin^3 \alpha - 2(-8 \sin^3 \alpha) = \sin^3 \alpha + 16 \sin^3 \alpha = 17 \sin^3 \alpha$.Поскольку $\sin \alpha \neq 0$, знаменатель $17 \sin^3 \alpha \neq 0$.Так как числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, значение всего выражения равно нулю.
Ответ: $0$.

4) Исходное выражение: $\frac{(\sin \alpha + 3 \cos \alpha) \tg^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.Сначала найдем $\tg \alpha$ и $\tg^2 \alpha$:$\tg \alpha = \frac{1}{\ctg \alpha} = \frac{1}{-2} = -0.5$.$\tg^2 \alpha = (-0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4}$.Преобразуем дробь в выражении, представив его как произведение: $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \cdot \tg^2 \alpha$.Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin \alpha$ (так как $\sin \alpha \neq 0$):$\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{1 + 3 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{1 - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{1 + 3 \ctg \alpha}{1 - \ctg \alpha}$.Подставим $\ctg \alpha = -2$:$\frac{1 + 3(-2)}{1 - (-2)} = \frac{1 - 6}{1 + 2} = -\frac{5}{3}$.Теперь вычислим значение исходного выражения:$(-\frac{5}{3}) \cdot \tg^2 \alpha = (-\frac{5}{3}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $-\frac{5}{12}$.

4.91. Докажите тождества:

1)

$\frac{\cos \alpha \ctg \alpha - \sin \alpha \tg \alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha}$;

2)

$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \cos^2 \alpha \sin \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \tg \alpha + \cos \alpha \ctg \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha.$

1)

Для доказательства тождества $ \frac{\cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha - \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} $ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Упростим числитель дроби, используя определения котангенса и тангенса ($ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $):

$ \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha - \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha = \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Далее упростим знаменатель дроби, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin\alpha \cos\alpha = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha) - \sin\alpha \cos\alpha = (1 + 2\sin\alpha \cos\alpha) - \sin\alpha \cos\alpha = 1 + \sin\alpha \cos\alpha $.

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ \frac{\frac{\cos^3\alpha - \sin^3\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos^2\alpha + \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha)}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha \cos\alpha}}{1 + \sin\alpha \cos\alpha} $.

Сократив на $ (1 + \sin\alpha\cos\alpha) $, получим:

$ \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Теперь преобразуем правую часть тождества, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} $.

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $ \frac{\cos\alpha + \sin\alpha - \cos^2\alpha \sin\alpha - \sin^2\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha \operatorname{tg}\alpha + \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha} = \sin\alpha \cos\alpha $ преобразуем его левую часть.

Упростим числитель дроби, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки:

$ \cos\alpha + \sin\alpha - \cos^2\alpha \sin\alpha - \sin^2\alpha \cos\alpha = (\cos\alpha + \sin\alpha) - (\cos^2\alpha \sin\alpha + \sin^2\alpha \cos\alpha) = (\cos\alpha + \sin\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) = (\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $.

Далее упростим знаменатель дроби:

$ \sin\alpha \operatorname{tg}\alpha + \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Применим к числителю полученной дроби формулу суммы кубов $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ и основное тригонометрическое тождество:

$ \sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в левую часть исходного выражения:

$ \frac{(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}} $.

Сократив дробь на общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) $, получим:

$ \frac{1}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} = \sin\alpha\cos\alpha $.

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4.92. Докажите тождества:

1) $\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$

2) $\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta$

3) $(\sin \alpha + \sin \beta)(\sin \alpha - \sin \beta) - (\cos \alpha + \cos \beta)(\cos \beta - \cos \alpha) = 0$

4) $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\cot \alpha + \cot \beta} = \tan \alpha \tan \beta$

1) Для доказательства тождества $sin^2\alpha \ cos^2\beta - cos^2\alpha \ sin^2\beta = sin^2\alpha - sin^2\beta$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $cos^2x = 1 - sin^2x$, чтобы выразить косинусы через синусы.
$sin^2\alpha \ cos^2\beta - cos^2\alpha \ sin^2\beta = sin^2\alpha (1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha) sin^2\beta$
Раскроем скобки:
$= sin^2\alpha - sin^2\alpha \ sin^2\beta - sin^2\beta + sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-sin^2\alpha \ sin^2\beta$ и $+sin^2\alpha \ sin^2\beta$ взаимно уничтожаются:
$= sin^2\alpha - sin^2\beta$
Таким образом, левая часть тождества равна правой: $sin^2\alpha - sin^2\beta = sin^2\alpha - sin^2\beta$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos^2\alpha \ cos^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta = cos^2\alpha - sin^2\beta$ преобразуем его левую часть. Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $cos^2\beta$ на $1 - sin^2\beta$.
$cos^2\alpha \ cos^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta = cos^2\alpha (1 - sin^2\beta) - sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Раскроем скобки:
$= cos^2\alpha - cos^2\alpha \ sin^2\beta - sin^2\alpha \ sin^2\beta$
Вынесем $-sin^2\beta$ за скобки:
$= cos^2\alpha - sin^2\beta(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$
Так как $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$, получаем:
$= cos^2\alpha - sin^2\beta$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(sin\alpha + sin\beta)(sin\alpha - sin\beta) - (cos\alpha + cos\beta)(cos\beta - cos\alpha) = 0$ преобразуем его левую часть. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Первое слагаемое: $(sin\alpha + sin\beta)(sin\alpha - sin\beta) = sin^2\alpha - sin^2\beta$.
Второе слагаемое: $(cos\alpha + cos\beta)(cos\beta - cos\alpha) = (cos\beta + cos\alpha)(cos\beta - cos\alpha) = cos^2\beta - cos^2\alpha$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(sin^2\alpha - sin^2\beta) - (cos^2\beta - cos^2\alpha) = sin^2\alpha - sin^2\beta - cos^2\beta + cos^2\alpha$
Сгруппируем слагаемые:
$= (sin^2\alpha + cos^2\alpha) - (sin^2\beta + cos^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:
$= 1 - 1 = 0$
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} = tg\alpha \ tg\beta$ преобразуем левую часть. Выразим котангенсы через тангенсы, используя формулу $ctgx = \frac{1}{tgx}$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{1}{tg\alpha} + \frac{1}{tg\beta} = \frac{tg\beta + tg\alpha}{tg\alpha \ tg\beta}$
Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:
$\frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{\frac{tg\alpha + tg\beta}{tg\alpha \ tg\beta}}$
Выполним деление дробей, "перевернув" знаменатель:
$= (tg\alpha + tg\beta) \cdot \frac{tg\alpha \ tg\beta}{tg\alpha + tg\beta}$
Сократим на $(tg\alpha + tg\beta)$ (при условии, что данное выражение не равно нулю и все тангенсы и котангенсы определены):
$= tg\alpha \ tg\beta$
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

4.93. Найдите значения $ \cos \alpha $, $ \tan \alpha $ и $ \cot \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи дано, что $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Вспомним знаки тригонометрических функций в этой четверти:

• $ \sin\alpha > 0 $ (что соответствует условию)
• $ \cos\alpha < 0 $
• $ \text{tg}\alpha < 0 $
• $ \text{ctg}\alpha < 0 $

cosα
Для нахождения значения $ \cos\alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из него $ \cos^2\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус.
Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.

tgα
Значение тангенса можно найти по формуле $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Подставим известные значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{3}{4} $
Ответ: $ \text{tg}\alpha = -\frac{3}{4} $.

ctgα
Значение котангенса можно найти как величину, обратную тангенсу, по формуле $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $, или по формуле $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Воспользуемся первым способом:
$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} $
Ответ: $ \text{ctg}\alpha = -\frac{4}{3} $.

4.94. Изобразите фигуру, заданную системой неравенств

$\begin{cases} x + 2y \le 4, \\ y \ge x^2 + 6x - 7 \end{cases}$

Для того чтобы изобразить фигуру, заданную системой неравенств, необходимо построить графики граничных функций и определить область, удовлетворяющую обоим неравенствам.

Система неравенств:

$$ \begin{cases} x + 2y \le 4 \\ y \ge x^2 + 6x - 7 \end{cases} $$

Анализ первого неравенства: $x + 2y \le 4$

Это линейное неравенство. Границей области является прямая $x + 2y = 4$. Приведем уравнение прямой к виду с угловым коэффициентом:

$2y = -x + 4$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Это прямая с угловым коэффициентом $k = -1/2$ и пересечением с осью $y$ в точке $(0, 2)$. Для построения прямой найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью $x$ (при $y=0$): $x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением неравенства $x + 2y \le 4$, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.

$0 + 2 \cdot 0 \le 4 \implies 0 \le 4$.

Неравенство верное, следовательно, решением является полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$, включая саму прямую.

Анализ второго неравенства: $y \ge x^2 + 6x - 7$

Это квадратичное неравенство. Границей является парабола $y = x^2 + 6x - 7$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$

Вершина параболы находится в точке $(-3, -16)$.

Неравенство $y \ge x^2 + 6x - 7$ означает, что решением является область над параболой, включая саму параболу.

Построение искомой фигуры

Искомая фигура — это пересечение двух областей, найденных выше. То есть, это все точки, которые находятся одновременно и под прямой (или на ней), и над параболой (или на ней). Для точного построения найдем точки пересечения прямой и параболы, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + 2 \\ y = x^2 + 6x - 7 \end{cases} $$

$x^2 + 6x - 7 = -\frac{1}{2}x + 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 + 12x - 14 = -x + 4$

$2x^2 + 13x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 169 + 144 = 313$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{313}}{4}$

Таким образом, абсциссы точек пересечения: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{313}}{4} \approx -7.67$ и $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{313}}{4} \approx 1.17$.

Найдем соответствующие ординаты из уравнения прямой:

$y_1 = -\frac{1}{2}(\frac{-13 - \sqrt{313}}{4}) + 2 = \frac{13 + \sqrt{313}}{8} + \frac{16}{8} = \frac{29 + \sqrt{313}}{8} \approx 5.84$

$y_2 = -\frac{1}{2}(\frac{-13 + \sqrt{313}}{4}) + 2 = \frac{13 - \sqrt{313}}{8} + \frac{16}{8} = \frac{29 - \sqrt{313}}{8} \approx 1.41$

Точки пересечения: $A(\frac{-13 - \sqrt{313}}{4}, \frac{29 + \sqrt{313}}{8})$ и $B(\frac{-13 + \sqrt{313}}{4}, \frac{29 - \sqrt{313}}{8})$.

Искомая фигура ограничена снизу дугой параболы $y = x^2 + 6x - 7$ и сверху отрезком прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$ между точками их пересечения A и B.

Ответ:

Фигура, заданная системой неравенств, представляет собой область на координатной плоскости, ограниченную снизу параболой $y = x^2 + 6x - 7$ и сверху прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Графическое изображение фигуры (закрашенная область) представлено ниже.

4.95. Решите уравнение графически: $x^2-3x+2=0$.

Чтобы решить уравнение $x^2-3x+2=0$ графически, необходимо построить график функции $y=x^2-3x+2$ и найти точки его пересечения с осью абсцисс (Ox). Абсциссы этих точек и будут являться корнями уравнения.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$
$y_в = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5; -0.25)$.

Найдем еще несколько точек для более точного построения графика, составив таблицу значений:

При $x = 0$, $y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка $(1; 0)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.
При $x = 3$, $y = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$. Точка $(3; 2)$.

Построим график функции по найденным точкам.

Из графика видно, что парабола $y=x^2-3x+2$ пересекает ось Ox в точках с абсциссами $x=1$ и $x=2$. Следовательно, эти значения являются корнями данного уравнения.

Ответ: $1; 2$.