Номер 4.93, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.93. Найдите значения $ \cos \alpha $, $ \tan \alpha $ и $ \cot \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи дано, что $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Вспомним знаки тригонометрических функций в этой четверти:

• $ \sin\alpha > 0 $ (что соответствует условию)
• $ \cos\alpha < 0 $
• $ \text{tg}\alpha < 0 $
• $ \text{ctg}\alpha < 0 $

cosα
Для нахождения значения $ \cos\alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из него $ \cos^2\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус.
Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.

tgα
Значение тангенса можно найти по формуле $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Подставим известные значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{3}{4} $
Ответ: $ \text{tg}\alpha = -\frac{3}{4} $.

ctgα
Значение котангенса можно найти как величину, обратную тангенсу, по формуле $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $, или по формуле $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Воспользуемся первым способом:
$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} $
Ответ: $ \text{ctg}\alpha = -\frac{4}{3} $.