Номер 4.86, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.86. Преобразуйте выражения:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{tg}(\pi-\alpha)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(\pi-\alpha);$

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)+\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{tg}(2\pi-\alpha);$

3) $(\operatorname{ctg}(6,5\pi-\alpha)\cos(-\alpha)+\cos(\pi-\alpha))^2+2\sin^2(\pi-\alpha)\operatorname{ctg}(\alpha-\pi);$

4) $\left(\cos(2,5-\alpha)\operatorname{tg}(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)\right)^2+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right).$

1) Преобразуем выражение $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)tg(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\sin(\pi - \alpha)$.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый тригонометрический член:

• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$, так как угол находится в IV четверти, где тангенс отрицателен, и функция меняется на кофункцию.

• $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен, и функция не меняется.

• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где косинус отрицателен, и функция меняется на кофункцию.

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, так как угол находится во II четверти, где синус положителен, и функция не меняется.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(-ctg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha)) + (-\sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

Зная, что $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$, получаем:

$1 - \sin^2(\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$, окончательно получаем:

$\cos^2(\alpha)$

Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

2) Преобразуем выражение $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)ctg(\pi - \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)tg(2\pi - \alpha)$.

Применим формулы приведения к каждому члену:

• $ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

• $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция не меняется).

• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

• $tg(2\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$ (IV четверть, тангенс отрицателен, функция не меняется).

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(-tg(\alpha)) \cdot (-ctg(\alpha)) + (-tg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha))$

Выполним умножение:

$tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) + tg^2(\alpha)$

Так как $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$, выражение становится:

$1 + tg^2(\alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

3) Преобразуем выражение $(ctg(6,5\pi - \alpha)\cos(-\alpha) + \cos(\pi - \alpha))^2 + 2\sin^2(\pi - \alpha)ctg(\alpha - \pi)$.

Сначала упростим тригонометрические функции с помощью формул приведения и свойств четности/нечетности:

• $ctg(6,5\pi - \alpha) = ctg(\frac{13\pi}{2} - \alpha) = ctg(6\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.

• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (косинус — четная функция).

• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.

• $ctg(\alpha - \pi) = ctg(-(\pi - \alpha)) = -ctg(\pi - \alpha) = -(-\ctg(\alpha)) = ctg(\alpha)$ (котангенс — нечетная функция).

Подставим упрощенные выражения:

$(tg(\alpha)\cos(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin^2(\alpha)ctg(\alpha)$

Теперь преобразуем части выражения. Вспомним, что $tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$:

$(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cos(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin^2(\alpha)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

$(\sin(\alpha) - \cos(\alpha))^2 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Раскроем скобки (квадрат разности):

$\sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Сократим подобные члены $-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ и $+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$

По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно 1.

Ответ: $1$.

4) Преобразуем выражение $(\cos(2,5\pi - \alpha)tg(3\pi + \alpha) + \sin(-\alpha)tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha))^2 + tg(\alpha)tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

Предполагая, что $2,5$ в первом члене является коэффициентом при $\pi$, то есть $\cos(2,5\pi - \alpha)$, упростим каждый член:

• $\cos(2,5\pi - \alpha) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$.

• $tg(3\pi + \alpha) = tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция).

• $tg(\frac{5\pi}{2} + \alpha) = tg(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sin(\alpha)tg(\alpha) + (-\sin(\alpha))(-ctg(\alpha)))^2 + tg(\alpha)(-ctg(\alpha))$

Упростим выражение в скобках и второе слагаемое:

$(\sin(\alpha)\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \sin(\alpha)\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)})^2 - tg(\alpha)ctg(\alpha)$

$(\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \cos(\alpha))^2 - 1$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$(\frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)})^2 - 1$

Используя тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$(\frac{1}{\cos(\alpha)})^2 - 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$

Из основного тригонометрического тождества $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$, следовательно:

$\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = tg^2(\alpha)$

Ответ: $tg^2(\alpha)$.