Номер 4.85, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.85. Упростите выражения:

1) $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \text{tg}\alpha;$

2) $\text{ctg}x + \frac{\sin x}{1+\cos x};$

3) $\frac{1-\sin^2 x}{1-\cos^2 x} + \text{tg}x \cdot \text{ctg}x;$

4) $(1-\cos^2 \alpha)\text{tg}^2 \alpha+1-\text{tg}^2 \alpha;$

5) $(\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2;$

6) $\text{ctg}^6 x - \frac{\cos^2 x - \text{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \text{tg}^2 x}.$

1) Для упрощения выражения приведем его к общему знаменателю. Для этого представим $ \text{tg}\alpha $ как $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Общий знаменатель: $ (1+\sin\alpha)\cos\alpha $.

$ \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha + \sin\alpha(1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin\alpha + \sin^2\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ \frac{( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + \sin\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} = \frac{1+\sin\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} $

Сокращаем дробь на $ (1+\sin\alpha) $:

$ \frac{1}{\cos\alpha} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos\alpha} $.

2) Представим $ \text{ctg}x $ как $ \frac{\cos x}{\sin x} $ и приведем выражение к общему знаменателю.

$ \text{ctg}x + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x} $

Общий знаменатель: $ \sin x(1+\cos x) $.

$ \frac{\cos x(1+\cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x+\cos^2 x = 1 $, получаем:

$ \frac{\cos x + 1}{\sin x(1+\cos x)} $

Сокращаем дробь на $ (1+\cos x) $:

$ \frac{1}{\sin x} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin x} $.

3) Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, из которого следуют равенства $ 1-\sin^2 x = \cos^2 x $ и $ 1-\cos^2 x = \sin^2 x $. Также используем тождество $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1 $.

$ \frac{1-\sin^2 x}{1-\cos^2 x} + \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 $

Так как $ \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \text{ctg}^2 x $, получаем:

$ \text{ctg}^2 x + 1 $

Используя тождество $ 1+\text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $, получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 x} $.

4) В выражении $ (1-\cos^2\alpha)\text{tg}^2\alpha+1-\text{tg}^2\alpha $ заменим $ 1-\cos^2\alpha $ на $ \sin^2\alpha $.

$ \sin^2\alpha \cdot \text{tg}^2\alpha+1-\text{tg}^2\alpha $

Сгруппируем члены, содержащие $ \text{tg}^2\alpha $, и вынесем его за скобки:

$ \text{tg}^2\alpha(\sin^2\alpha-1)+1 $

Так как $ \sin^2\alpha-1 = -\cos^2\alpha $, выражение принимает вид:

$ \text{tg}^2\alpha(-\cos^2\alpha)+1 $

Подставим $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}(-\cos^2\alpha)+1 = -\sin^2\alpha+1 = 1-\sin^2\alpha $

По основному тригонометрическому тождеству $ 1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Ответ: $ \cos^2\alpha $.

5) Выражение $ (\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2 $ представляет собой разность квадратов двух выражений. Можно применить формулу сокращенного умножения $ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $.

В данном случае $ a = \text{ctg}\alpha $ и $ b = \text{tg}\alpha $.

$ (\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2 = 4 \cdot \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha $

Поскольку $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1 $, то:

$ 4 \cdot 1 = 4 $

Ответ: $ 4 $.

6) Упростим дробь $ \frac{\cos^2 x - \text{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \text{tg}^2 x} $ отдельно.

Преобразуем числитель:

$ \cos^2 x - \text{ctg}^2 x = \cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x \sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (\sin^2 x - 1)}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (-\cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin^2 x - \text{tg}^2 x = \sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (-\sin^2 x)}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} $

Теперь найдем значение дроби:

$ \frac{-\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}}{-\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x} = \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x} = \text{ctg}^6 x $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \text{ctg}^6 x - \text{ctg}^6 x = 0 $

Ответ: $ 0 $.