Номер 4.78, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.78. Упростите выражения:

1) $ctg\beta - \frac{cos\beta - 1}{sin\beta}$;

2) $\frac{1}{sin\alpha - 1} - \frac{1}{sin\alpha + 1}$;

3) $\frac{1 - ctg\gamma}{tg\gamma - 1}$;

4) $\frac{sin^2\theta - 1}{cos^2\theta - 1} + tg\theta ctg\theta$;

5) $tg^2\alpha(sin^2\alpha - 1)$;

6) $cos^2\alpha - (ctg^2\alpha + 1)sin^2\alpha$.

1) $\text{ctg}\beta - \frac{\cos\beta - 1}{\sin\beta}$
Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\beta - 1}{\sin\beta}$.
Поскольку у дробей общий знаменатель, мы можем вычесть их числители:$\frac{\cos\beta - (\cos\beta - 1)}{\sin\beta} = \frac{\cos\beta - \cos\beta + 1}{\sin\beta} = \frac{1}{\sin\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin\beta}$.

2) $\frac{1}{\sin\alpha - 1} - \frac{1}{\sin\alpha + 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1)$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем: $(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1) = \sin^2\alpha - 1$.
Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{1 \cdot (\sin\alpha + 1) - 1 \cdot (\sin\alpha - 1)}{(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1)} = \frac{\sin\alpha + 1 - \sin\alpha + 1}{\sin^2\alpha - 1} = \frac{2}{\sin^2\alpha - 1}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Подставим это в наше выражение: $\frac{2}{-\cos^2\alpha} = -\frac{2}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $-\frac{2}{\cos^2\alpha}$.

3) $\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\text{tg}\gamma - 1}$
Используем тождество $\text{tg}\gamma = \frac{1}{\text{ctg}\gamma}$ и заменим тангенс в знаменателе:
$\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\frac{1}{\text{ctg}\gamma} - 1} = \frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\text{ctg}\gamma}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению на перевернутую дробь-знаменатель:
$(1 - \text{ctg}\gamma) \cdot \frac{\text{ctg}\gamma}{1 - \text{ctg}\gamma}$.
Сократив одинаковые множители $(1 - \text{ctg}\gamma)$, получим $\text{ctg}\gamma$.
Ответ: $\text{ctg}\gamma$.

4) $\frac{\sin^2\theta - 1}{\cos^2\theta - 1} + \text{tg}\theta \cdot \text{ctg}\theta$
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\frac{\sin^2\theta - 1}{\cos^2\theta - 1}$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ мы знаем, что $\sin^2\theta - 1 = -\cos^2\theta$ и $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$.
Тогда дробь принимает вид: $\frac{-\cos^2\theta}{-\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \text{ctg}^2\theta$.
Второе слагаемое: $\text{tg}\theta \cdot \text{ctg}\theta$. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1.
Теперь сложим результаты: $\text{ctg}^2\theta + 1$.
Используем еще одно тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2\theta}$.

5) $\text{tg}^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)$
Заменим $\text{tg}^2\alpha$ на $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$ и используем тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Выражение примет вид: $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot (-\cos^2\alpha)$.
Сокращаем $\cos^2\alpha$ в числителе и знаменателе:
$\sin^2\alpha \cdot (-1) = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.

6) $\cos^2\alpha - (\text{ctg}^2\alpha + 1)\sin^2\alpha$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим это в выражение в скобках:
$\cos^2\alpha - \left(\frac{1}{\sin^2\alpha}\right)\sin^2\alpha$.
Сокращаем $\sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.