Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.78. Упростите выражения:

1) $ctg\beta - \frac{cos\beta - 1}{sin\beta}$;

2) $\frac{1}{sin\alpha - 1} - \frac{1}{sin\alpha + 1}$;

3) $\frac{1 - ctg\gamma}{tg\gamma - 1}$;

4) $\frac{sin^2\theta - 1}{cos^2\theta - 1} + tg\theta ctg\theta$;

5) $tg^2\alpha(sin^2\alpha - 1)$;

6) $cos^2\alpha - (ctg^2\alpha + 1)sin^2\alpha$.

1) $\text{ctg}\beta - \frac{\cos\beta - 1}{\sin\beta}$
Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\beta - 1}{\sin\beta}$.
Поскольку у дробей общий знаменатель, мы можем вычесть их числители:$\frac{\cos\beta - (\cos\beta - 1)}{\sin\beta} = \frac{\cos\beta - \cos\beta + 1}{\sin\beta} = \frac{1}{\sin\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin\beta}$.

2) $\frac{1}{\sin\alpha - 1} - \frac{1}{\sin\alpha + 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1)$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем: $(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1) = \sin^2\alpha - 1$.
Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{1 \cdot (\sin\alpha + 1) - 1 \cdot (\sin\alpha - 1)}{(\sin\alpha - 1)(\sin\alpha + 1)} = \frac{\sin\alpha + 1 - \sin\alpha + 1}{\sin^2\alpha - 1} = \frac{2}{\sin^2\alpha - 1}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Подставим это в наше выражение: $\frac{2}{-\cos^2\alpha} = -\frac{2}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $-\frac{2}{\cos^2\alpha}$.

3) $\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\text{tg}\gamma - 1}$
Используем тождество $\text{tg}\gamma = \frac{1}{\text{ctg}\gamma}$ и заменим тангенс в знаменателе:
$\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\frac{1}{\text{ctg}\gamma} - 1} = \frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\frac{1 - \text{ctg}\gamma}{\text{ctg}\gamma}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению на перевернутую дробь-знаменатель:
$(1 - \text{ctg}\gamma) \cdot \frac{\text{ctg}\gamma}{1 - \text{ctg}\gamma}$.
Сократив одинаковые множители $(1 - \text{ctg}\gamma)$, получим $\text{ctg}\gamma$.
Ответ: $\text{ctg}\gamma$.

4) $\frac{\sin^2\theta - 1}{\cos^2\theta - 1} + \text{tg}\theta \cdot \text{ctg}\theta$
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\frac{\sin^2\theta - 1}{\cos^2\theta - 1}$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ мы знаем, что $\sin^2\theta - 1 = -\cos^2\theta$ и $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$.
Тогда дробь принимает вид: $\frac{-\cos^2\theta}{-\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \text{ctg}^2\theta$.
Второе слагаемое: $\text{tg}\theta \cdot \text{ctg}\theta$. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1.
Теперь сложим результаты: $\text{ctg}^2\theta + 1$.
Используем еще одно тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2\theta}$.

5) $\text{tg}^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)$
Заменим $\text{tg}^2\alpha$ на $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$ и используем тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Выражение примет вид: $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot (-\cos^2\alpha)$.
Сокращаем $\cos^2\alpha$ в числителе и знаменателе:
$\sin^2\alpha \cdot (-1) = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.

6) $\cos^2\alpha - (\text{ctg}^2\alpha + 1)\sin^2\alpha$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим это в выражение в скобках:
$\cos^2\alpha - \left(\frac{1}{\sin^2\alpha}\right)\sin^2\alpha$.
Сокращаем $\sin^2\alpha$: $\cos^2\alpha - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.

4.79. Преобразуйте выражения:

1) $\text{tg}(-\alpha) \cos\alpha+\sin\alpha;$

2) $\cos^2\alpha \text{tg}^2(-\alpha)-1;$

3) $\frac{\text{ctg}(-\beta)\sin\beta}{\cos\beta};$

4) $\frac{1 - \text{tg}(-x)}{\sin x + \cos(-x)};$

5) $\text{ctg}\alpha \sin(-\alpha)-\cos(-\alpha);$

6) $\text{tg}(-u)\text{ctg}u+\sin^2u;$

7) $\frac{1 - \sin^2(-y)}{\cos y};$

8) $\frac{\text{tg}(-x) + 1}{1 - \text{ctg}x}.$

1) Для преобразования выражения $tg(-\alpha) \cos\alpha + \sin\alpha$ используем свойство нечетности тангенса: $tg(-\alpha) = -tg\alpha$. Подставим это в исходное выражение: $-tg\alpha \cos\alpha + \sin\alpha$. Далее, используем определение тангенса $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Получаем: $-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha$. Сокращая $\cos\alpha$, имеем: $-\sin\alpha + \sin\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

2) Для выражения $\cos^2\alpha \ tg^2(-\alpha) - 1$ используем свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg\alpha$. Так как тангенс возводится в квадрат, знак минус исчезает: $tg^2(-\alpha) = (-tg\alpha)^2 = tg^2\alpha$. Выражение принимает вид: $\cos^2\alpha \ tg^2\alpha - 1$. Подставим определение тангенса $tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$: $\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1$. После сокращения $\cos^2\alpha$ получаем $\sin^2\alpha - 1$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Ответ: $-\cos^2\alpha$.

3) В выражении $\frac{ctg(-\beta)\sin\beta}{\cos\beta}$ используем свойство нечетности котангенса: $ctg(-\beta) = -ctg\beta$. Получаем: $\frac{-ctg\beta\sin\beta}{\cos\beta}$. Подставим определение котангенса $ctg\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$: $\frac{-\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\sin\beta}{\cos\beta}$. Сократив $\sin\beta$ в числителе, получим: $\frac{-\cos\beta}{\cos\beta} = -1$.
Ответ: $-1$.

4) В выражении $\frac{1-tg(-x)}{\sin x+\cos(-x)}$ используем свойства четности и нечетности функций: тангенс — нечетная функция ($tg(-x)=-tgx$), а косинус — четная ($\cos(-x)=\cos x$). Подставляем: $\frac{1-(-tgx)}{\sin x+\cos x} = \frac{1+tgx}{\sin x+\cos x}$. Заменим $tgx$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$: $\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x} = \frac{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x}$. Упрощая дробь, получаем: $\frac{\cos x+\sin x}{\cos x(\sin x+\cos x)} = \frac{1}{\cos x}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos x}$.

5) В выражении $ctg\alpha \sin(-\alpha) - \cos(-\alpha)$ используем свойства: $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (нечетная) и $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (четная). Получаем: $ctg\alpha(-\sin\alpha) - \cos\alpha = -ctg\alpha\sin\alpha - \cos\alpha$. Заменим $ctg\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$: $-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\sin\alpha - \cos\alpha$. Сократив $\sin\alpha$, имеем: $-\cos\alpha - \cos\alpha = -2\cos\alpha$.
Ответ: $-2\cos\alpha$.

6) В выражении $tg(-u)ctgu + \sin^2u$ используем свойство нечетности тангенса $tg(-u)=-tgu$: $-tgu \cdot ctgu + \sin^2u$. Произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице: $tgu \cdot ctgu = 1$. Таким образом, выражение становится равным $-1 + \sin^2u$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2u + \cos^2u = 1$ следует, что $\sin^2u - 1 = -\cos^2u$.
Ответ: $-\cos^2u$.

7) Для выражения $\frac{1-\sin^2(-y)}{\cos y}$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-y)=-\sin y$. Тогда $\sin^2(-y) = (-\sin y)^2 = \sin^2y$. Выражение принимает вид: $\frac{1-\sin^2y}{\cos y}$. По основному тригонометрическому тождеству $1-\sin^2y = \cos^2y$. Подставляем: $\frac{\cos^2y}{\cos y}$. Сокращая $\cos y$, получаем $\cos y$.
Ответ: $\cos y$.

8) В выражении $\frac{tg(-x)+1}{1-ctgx}$ заменим $tg(-x)$ на $-tgx$: $\frac{-tgx+1}{1-ctgx} = \frac{1-tgx}{1-ctgx}$. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\cos x}{\sin x}}$. Приведем к общему знаменателю в числителе и знаменателе дроби: $\frac{\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}}$. Выполним деление дробей: $\frac{\cos x-\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x-\cos x}$. Заметим, что $\sin x-\cos x = -(\cos x-\sin x)$. Получаем: $\frac{\cos x-\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{-(\cos x-\sin x)}$. Сократив $(\cos x-\sin x)$, получим $-\frac{\sin x}{\cos x}$, что равно $-tgx$.
Ответ: $-tgx$.

4.80. Покажите, что значения выражений не зависит от α:

1) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2;$

2) $(\mathrm{tg}\alpha+\mathrm{ctg}\alpha)^2-(\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{ctg}\alpha)^2;$

3) $\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1+\mathrm{ctg}^2\alpha};$

4) $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha};$

5) $\frac{2-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha};$

6) $\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}.$

1) Чтобы упростить выражение $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$, раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$
Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha + (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha + 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Взаимно уничтожаются слагаемые $2\sin\alpha\cos\alpha$ и $-2\sin\alpha\cos\alpha$.
$1 + 1 = 2$.
Полученное значение 2 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 2.

2) Преобразуем выражение $(\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha)^2-(\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)^2$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Пусть $a = \text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha$. Тогда:
$((\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) - (\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)) \cdot ((\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) + (\text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha)) = $
$= (\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha) \cdot (\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha-\text{ctg}\alpha) = (2\text{ctg}\alpha) \cdot (2\text{tg}\alpha) = 4\text{tg}\alpha\text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то выражение равно $4 \cdot 1 = 4$.
Полученное значение 4 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 4.

3) Для преобразования выражения $\frac{1}{1+\text{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1+\text{ctg}^2\alpha}$ используем тригонометрические тождества $1+\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1+\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим их в исходное выражение:
$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 1.

4) Упростим выражение $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
В числителе мы использовали формулу разности квадратов. Из основного тригонометрического тождества следует, что $1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 1$.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \ne 0$).
Ответ: 1.

5) Рассмотрим выражение $\frac{2-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha}$.
В числителе вынесем -1 за скобки: $2 - (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
В знаменателе вынесем 3 за скобки: $3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
Выражение примет вид: $\frac{2 - (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:
$\frac{2-1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$.
Полученное значение $\frac{1}{3}$ не зависит от $\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Упростим выражение $\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$.
Числитель $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$ можно разложить на множители как разность квадратов: $(\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$.
Сократим дробь на $(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)$ (при условии, что это выражение не равно нулю):
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем 1.
Полученное значение 1 не зависит от $\alpha$.
Ответ: 1.