Страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.96. Преобразуйте выражения, пользуясь формулами сложения:

1) $ \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right); $

2) $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + y\right); $

3) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right); $

4) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right); $

5) $ \tg\left(\frac{\pi}{4} - x\right); $

6) $ \tg\left(\frac{\pi}{3} + y\right); $

7) $ \ctg\left(\frac{\pi}{6} - x\right); $

8) $ \ctg\left(\frac{\pi}{4} + x\right). $

1) Применяем формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $sin(\frac{\pi}{4} - x) = sin(\frac{\pi}{4})cos(x) - cos(\frac{\pi}{4})sin(x)$. Подставляя табличные значения $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$

2) Применяем формулу синуса суммы $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=y$ имеем: $sin(\frac{\pi}{6} + y) = sin(\frac{\pi}{6})cos(y) + cos(\frac{\pi}{6})sin(y)$. Подставляя табличные значения $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $\frac{1}{2}cos(y) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(y)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(y) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(y)$

3) Применяем формулу косинуса разности $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=x$ имеем: $cos(\frac{\pi}{3} - x) = cos(\frac{\pi}{3})cos(x) + sin(\frac{\pi}{3})sin(x)$. Подставляя табличные значения $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $\frac{1}{2}cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$

4) Применяем формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $cos(\frac{\pi}{4} + x) = cos(\frac{\pi}{4})cos(x) - sin(\frac{\pi}{4})sin(x)$. Подставляя табличные значения $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x) - sin(x))$

5) Применяем формулу тангенса разности $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg(\alpha) - tg(\beta)}{1 + tg(\alpha)tg(\beta)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $tg(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) - tg(x)}{1 + tg(\frac{\pi}{4})tg(x)}$. Подставляя табличное значение $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем $\frac{1 - tg(x)}{1 + tg(x)}$.
Ответ: $\frac{1 - tg(x)}{1 + tg(x)}$

6) Применяем формулу тангенса суммы $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1 - tg(\alpha)tg(\beta)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=y$ имеем: $tg(\frac{\pi}{3} + y) = \frac{tg(\frac{\pi}{3}) + tg(y)}{1 - tg(\frac{\pi}{3})tg(y)}$. Подставляя табличное значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем $\frac{\sqrt{3} + tg(y)}{1 - \sqrt{3}tg(y)}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} + tg(y)}{1 - \sqrt{3}tg(y)}$

7) Применяем формулу котангенса разности $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta) + 1}{ctg(\beta) - ctg(\alpha)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$ и $\beta=x$ имеем: $ctg(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{ctg(\frac{\pi}{6})ctg(x) + 1}{ctg(x) - ctg(\frac{\pi}{6})}$. Подставляя табличное значение $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, получаем $\frac{\sqrt{3}ctg(x) + 1}{ctg(x) - \sqrt{3}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}ctg(x) + 1}{ctg(x) - \sqrt{3}}$

8) Применяем формулу котангенса суммы $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta) - 1}{ctg(\beta) + ctg(\alpha)}$. Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и $\beta=x$ имеем: $ctg(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{ctg(\frac{\pi}{4})ctg(x) - 1}{ctg(x) + ctg(\frac{\pi}{4})}$. Подставляя табличное значение $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем $\frac{1 \cdot ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1} = \frac{ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1}$.
Ответ: $\frac{ctg(x) - 1}{ctg(x) + 1}$

4.97. Вычислите:

1)

$\cos 40^\circ \cos 20^\circ - \sin 40^\circ \sin 20^\circ;$

2)

$\cos 70^\circ \cos 40^\circ + \sin 70^\circ \sin 40^\circ.$

1) Для вычисления выражения $cos40^\circ cos20^\circ - sin40^\circ sin20^\circ$ используется формула косинуса суммы двух углов, которая имеет вид: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.
В данном выражении $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.
Подставив эти значения в формулу, получаем:
$cos40^\circ cos20^\circ - sin40^\circ sin20^\circ = cos(40^\circ + 20^\circ) = cos(60^\circ)$.
Значение $cos(60^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления выражения $cos70^\circ cos40^\circ + sin70^\circ sin40^\circ$ используется формула косинуса разности двух углов, которая имеет вид: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.
В данном выражении $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 40^\circ$.
Подставив эти значения в формулу, получаем:
$cos70^\circ cos40^\circ + sin70^\circ sin40^\circ = cos(70^\circ - 40^\circ) = cos(30^\circ)$.
Значение $cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4.98. Упростите выражения:

1) $ \cos 5x \cos 2x + \sin 5x \sin 2x $;

2) $ \cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x $;

3) $ \cos \beta \sin 5\beta - \sin \beta \cos 5\beta $;

4) $ \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 3\alpha $.

1) Для упрощения выражения $ \cos5x \cos2x + \sin5x \sin2x $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

В нашем случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $.

Тогда выражение принимает вид:

$ \cos5x \cos2x + \sin5x \sin2x = \cos(5x - 2x) = \cos(3x) $.

Ответ: $ \cos(3x) $.

2) Для упрощения выражения $ \cos3x \cos x - \sin3x \sin x $ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.

Таким образом, получаем:

$ \cos3x \cos x - \sin3x \sin x = \cos(3x + x) = \cos(4x) $.

Ответ: $ \cos(4x) $.

3) Для упрощения выражения $ \cos\beta \sin5\beta - \sin\beta \cos5\beta $ запишем его в виде $ \sin5\beta \cos\beta - \cos5\beta \sin\beta $. Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 5\beta $ и $ \beta = \beta $.

Следовательно, выражение равно:

$ \sin5\beta \cos\beta - \cos5\beta \sin\beta = \sin(5\beta - \beta) = \sin(4\beta) $.

Ответ: $ \sin(4\beta) $.

4) Для упрощения выражения $ \sin3\alpha \cos2\alpha + \sin2\alpha \cos3\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

В этом примере $ \alpha = 3\alpha $ и $ \beta = 2\alpha $. Порядок слагаемых в исходном выражении можно поменять, чтобы он полностью соответствовал формуле: $ \sin3\alpha \cos2\alpha + \cos3\alpha \sin2\alpha $.

Подставив значения в формулу, получим:

$ \sin3\alpha \cos2\alpha + \cos3\alpha \sin2\alpha = \sin(3\alpha + 2\alpha) = \sin(5\alpha) $.

Ответ: $ \sin(5\alpha) $.

4.99. Упростите выражения:

1) $ \sin(x+y)-\cos x \sin y; $

2) $ \cos(x-y)-\sin x \sin y; $

3) $ \sin\alpha \cos\beta-\sin(\alpha-\beta); $

4) $ \cos\alpha \cos\beta-\cos(\alpha-\beta). $

1) Для упрощения выражения $ \sin(x+y)-\cos x \sin y $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\sin x \cos y + \cos x \sin y) - \cos x \sin y $
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ \sin x \cos y + \cos x \sin y - \cos x \sin y = \sin x \cos y $
Слагаемые $ \cos x \sin y $ и $ -\cos x \sin y $ взаимно уничтожаются.
Ответ: $ \sin x \cos y $

2) Для упрощения выражения $ \cos(x-y)-\sin x \sin y $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\cos x \cos y + \sin x \sin y) - \sin x \sin y $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ \cos x \cos y + \sin x \sin y - \sin x \sin y = \cos x \cos y $
Слагаемые $ \sin x \sin y $ и $ -\sin x \sin y $ взаимно уничтожаются.
Ответ: $ \cos x \cos y $

3) Для упрощения выражения $ \sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha-\beta) $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) $
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:
$ \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
Приведем подобные слагаемые, в результате чего $ \sin \alpha \cos \beta $ и $ -\sin \alpha \cos \beta $ сокращаются:
$ \cos \alpha \sin \beta $
Ответ: $ \cos \alpha \sin \beta $

4) Для упрощения выражения $ \cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha-\beta) $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$ \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
Приведем подобные слагаемые, в результате чего $ \cos \alpha \cos \beta $ и $ -\cos \alpha \cos \beta $ сокращаются:
$ -\sin \alpha \sin \beta $
Ответ: $ -\sin \alpha \sin \beta $

4.100. Упростите выражения:

1) $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x}$;

2) $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x}$;

3) $\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$;

4) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

5) $\frac{\text{cos}\frac{3\pi}{8}\text{cos}\frac{\pi}{8} - \text{sin}\frac{3\pi}{8}\text{sin}\frac{\pi}{8}}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)}$;

6) $\frac{\text{cos}\frac{5\pi}{6}\text{cos}\frac{\pi}{3} + \text{sin}\frac{5\pi}{6}\text{sin}\frac{\pi}{3}}{\text{tg}\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right)}$.

1) Исходное выражение имеет вид $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x}$. Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$. В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$. Тогда выражение можно упростить следующим образом: $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x} = \text{tg}(2x + 3x) = \text{tg}(5x)$. Ответ: $\text{tg}(5x)$.

2) Исходное выражение: $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x}$. Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$. В данном случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 2x$. Применяя формулу, получаем: $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x} = \text{tg}(5x - 2x) = \text{tg}(3x)$. Ответ: $\text{tg}(3x)$.

3) Исходное выражение: $\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$. Зная, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, мы можем переписать выражение: $\frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x}$. Это соответствует формуле тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta)$ с $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$. Таким образом, выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Ответ: $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$.

4) Исходное выражение: $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Применим формулы тангенса суммы и разности. $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) + \text{tg}x}{1 - \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}$. $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$. Перемножим полученные выражения: $(\frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}) \cdot (\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}) = 1$. Ответ: $1$.

5) Исходное выражение: $\frac{\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}}{\text{tg}(\frac{\pi}{4} + \beta)}$. Числитель дроби имеет вид $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, что является формулой косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta)$. Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$. Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{2})$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, всё выражение равно 0 (при условии, что знаменатель не равен нулю). Ответ: $0$.

6) Исходное выражение: $\frac{\cos\frac{5\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{5\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}}{\text{tg}(\frac{3\pi}{4} - \alpha)}$. Числитель дроби имеет вид $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, что является формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta)$. Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2})$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, всё выражение равно 0 (при условии, что знаменатель не равен нулю). Ответ: $0$.