Страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.104. Найдите:

1) $ \sin(\alpha-\beta) $, если $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $, $ \sin\beta = -0.6 $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $;

2) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $, если $ \operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{3} $;

3) $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = -\frac{40}{41} $, $ \operatorname{tg}\beta = \frac{9}{40} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

1) Для нахождения $sin(\alpha-\beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

По условию задачи имеем $cos\alpha = \frac{5}{13}$ и $sin\beta = -0,6 = -\frac{3}{5}$. Угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. Угол $\beta$ находится в интервале $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти.

Сначала найдем $sin\alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти, его синус положителен: $sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Далее найдем $cos\beta$. Снова используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в третьей четверти, его косинус отрицателен: $cos\beta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta = \frac{12}{13} \cdot (-\frac{4}{5}) - \frac{5}{13} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{-48+15}{65} = -\frac{33}{65}$.

Ответ: $-\frac{33}{65}$.

2) Для нахождения $tg(\frac{\pi}{6}+\alpha)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$.

По условию $ctg\alpha = \sqrt{3}$. Тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами, поэтому:

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ является стандартным: $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденные значения в формулу тангенса суммы:

$tg(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \frac{tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha}{1 - tg\frac{\pi}{6} \cdot tg\alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Для нахождения $tg(\alpha+\beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

По условию $sin\alpha = -\frac{40}{41}$, $tg\beta = \frac{9}{40}$, и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти.

Сначала найдем $tg\alpha$. Для этого необходимо вычислить $cos\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, его косинус положителен: $cos\alpha = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41}$.

Теперь мы можем найти $tg\alpha$:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-40/41}{9/41} = -\frac{40}{9}$.

Подставим значения $tg\alpha = -\frac{40}{9}$ и $tg\beta = \frac{9}{40}$ в формулу тангенса суммы:

$tg(\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta} = \frac{-\frac{40}{9} + \frac{9}{40}}{1 - (-\frac{40}{9}) \cdot (\frac{9}{40})} = \frac{\frac{-40 \cdot 40 + 9 \cdot 9}{9 \cdot 40}}{1 - (-1)} = \frac{\frac{-1600+81}{360}}{2} = \frac{\frac{-1519}{360}}{2} = -\frac{1519}{720}$.

Ответ: $-\frac{1519}{720}$.

4.105. Докажите тождество $\sin\gamma = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника.

Поскольку $α$, $β$ и $γ$ являются углами одного треугольника, их сумма равна $180°$ (или $π$ радиан). Это можно записать в виде формулы:

$α + β + γ = 180°$

Из этого равенства выразим угол $γ$ через два других угла, $α$ и $β$:

$γ = 180° - (α + β)$

Теперь подставим это выражение для угла $γ$ в левую часть доказываемого тождества:

$sin(γ) = sin(180° - (α + β))$

Согласно формуле приведения для синуса, $sin(180° - x) = sin(x)$. Применив эту формулу, где в качестве $x$ выступает сумма $(α + β)$, получаем:

$sin(180° - (α + β)) = sin(α + β)$

Таким образом, мы установили, что $sin(γ) = sin(α + β)$.

Далее воспользуемся формулой синуса суммы двух углов, которая гласит: $sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)$. Применим её к правой части полученного равенства $sin(α + β)$:

$sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$

Соединив полученные равенства, мы приходим к исходному тождеству:

$sin(γ) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $sin(γ) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$ доказано. Оно является прямым следствием свойства суммы углов треугольника ($α + β + γ = 180°$) и тригонометрических формул приведения и синуса суммы.

4.106. Найдите:

1) $ \sin(\alpha+\beta) $ и $ \cos(\alpha-\beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{8}{17} $, $ \cos\beta = \frac{4}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $;

2) $ \cos(\alpha+\beta) $ и $ \sin(\alpha-\beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{9}{41} $, $ \sin\beta = -\frac{40}{41} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.

1)

Для нахождения $sin(\alpha+\beta)$ и $cos(\alpha-\beta)$ воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи нам даны $sin\alpha = \frac{8}{17}$ и $cos\beta = \frac{4}{5}$. Также известно, что углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), следовательно, их синусы и косинусы положительны.

Найдем $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{289-64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Аналогично найдем $sin\beta$:

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, когда у нас есть все четыре значения ($sin\alpha, cos\alpha, sin\beta, cos\beta$), подставим их в формулы сложения:

$sin(\alpha+\beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85}$

$cos(\alpha-\beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $sin(\alpha+\beta) = \frac{77}{85}$, $cos(\alpha-\beta) = \frac{84}{85}$.

2)

Для нахождения $cos(\alpha+\beta)$ и $sin(\alpha-\beta)$ воспользуемся соответствующими формулами сложения:

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи нам даны $sin\alpha = \frac{9}{41}$ и $sin\beta = -\frac{40}{41}$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), а угол $\beta$ — в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$).

Найдем $cos\alpha$. Так как $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус будет отрицательным:

$cos\alpha = -\sqrt{1 - sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1681-81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}$

Найдем $cos\beta$. Так как $\beta$ находится в четвертой четверти, его косинус будет положительным:

$cos\beta = \sqrt{1 - sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{1681-1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41}$

Теперь у нас есть все четыре значения. Подставим их в формулы:

$cos(\alpha+\beta) = \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \frac{9}{41} - \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = -\frac{360}{1681} - \left(-\frac{360}{1681}\right) = -\frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = 0$

$sin(\alpha-\beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{9}{41} - \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81-1600}{1681} = -\frac{1519}{1681}$

Ответ: $cos(\alpha+\beta) = 0$, $sin(\alpha-\beta) = -\frac{1519}{1681}$.

4.107. Найдите:

1) cosy, если $cosx=0,6$, $cos(x+y)=0$, $0

2) $\alpha+\beta$, если $tg\alpha=0,5$, $tg\beta=\frac{1}{3}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$;

3) $\alpha-\beta$, если $sin\alpha=\frac{40}{41}$, $sin\beta=-\frac{9}{41}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$;

4) $\alpha+\beta$, $tg\alpha=3$, $tg\beta=-0,5$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$.

1) Дано: $ \cos x = 0,6 $, $ \cos(x+y) = 0 $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, $ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $.
Сначала найдем $ \sin x $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ следует, что $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.
Так как угол $ x $ находится в первой четверти ($ 0 < x < \frac{\pi}{2} $), его синус положителен. Следовательно, $ \sin x = \sqrt{0,64} = 0,8 $.
Теперь определим значение $ x+y $. Из условия $ \cos(x+y)=0 $, следует, что $ x+y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Найдем диапазон для суммы $ x+y $, сложив почленно неравенства для $ x $ и $ y $:
$ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
$ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $
Складывая, получаем: $ \pi + 0 < x+y < \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} $, то есть $ \pi < x+y < 2\pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (\pi, 2\pi) $, это $ \frac{3\pi}{2} $ (при $ k=1 $).
Итак, $ x+y = \frac{3\pi}{2} $, откуда $ y = \frac{3\pi}{2} - x $.
Теперь мы можем найти $ \cos y $, используя формулу приведения:
$ \cos y = \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin x $.
Так как $ \sin x = 0,8 $, то $ \cos y = -0,8 $.
Это согласуется с тем, что угол $ y $ находится в третьей четверти ($ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен.
Ответ: -0,8.

2) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = 0,5 = \frac{1}{2} $, $ \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.
Для нахождения $ \alpha+\beta $ воспользуемся формулой тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta} $.
Подставим известные значения в формулу:
$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 $.
Из равенства $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = 1 $ следует, что $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для суммы $ \alpha+\beta $, сложив неравенства для $ \alpha $ и $ \beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $
Следовательно, $ 0 < \alpha+\beta < \pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{4} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (0, \pi) $, это $ \frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) Дано: $ \sin\alpha = \frac{40}{41} $, $ \sin\beta = -\frac{9}{41} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $.
Найдем косинусы углов $ \alpha $ и $ \beta $, используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $ и заданные четверти.
Для угла $ \alpha $: $ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681} $.
Так как $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (I четверть), $ \cos\alpha $ положителен: $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $.
Для угла $ \beta $: $ \cos^2\beta = 1 - (-\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} $.
Так как $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $ (IV четверть), $ \cos\beta $ положителен: $ \cos\beta = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $.
Теперь найдем $ \alpha-\beta $, используя формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
Подставим найденные значения:
$ \cos(\alpha-\beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{40}{41} + \frac{40}{41} \cdot (-\frac{9}{41}) = \frac{360}{1681} - \frac{360}{1681} = 0 $.
Из равенства $ \cos(\alpha-\beta) = 0 $ следует, что $ \alpha-\beta = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для разности $ \alpha-\beta $. Из $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $ следует $ 0 < -\beta < \frac{\pi}{2} $.
Сложим неравенства для $ \alpha $ и $ -\beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ 0 < -\beta < \frac{\pi}{2} $
Следовательно, $ 0 < \alpha-\beta < \pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (0, \pi) $, это $ \frac{\pi}{2} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha-\beta = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = 3 $, $ \operatorname{tg}\beta = -0,5 = -\frac{1}{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $.
Для нахождения $ \alpha+\beta $ воспользуемся формулой тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta} $.
Подставим известные значения в формулу:
$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{3 + (-\frac{1}{2})}{1 - 3 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1 $.
Из равенства $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = 1 $ следует, что $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для суммы $ \alpha+\beta $, сложив неравенства для $ \alpha $ и $ \beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $
Следовательно, $ 0 - \frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2} + 0 $, то есть $ -\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2} $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{4} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, это $ \frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

4.108. Докажите, что:

1) $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$, если $\text{tg}\alpha=\frac{5}{11}$, $\text{tg}\beta=\frac{3}{8}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$;

2) $\alpha-\beta=\frac{\pi}{6}$, если $\text{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}a}{4-a}$, $\text{tg}\beta=\frac{a-1}{\sqrt{3}}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$.

1)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим известные значения $\text{tg}\alpha = \frac{5}{11}$ и $\text{tg}\beta = \frac{3}{8}$ в формулу:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{11} + \frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{11} \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5 \cdot 8 + 3 \cdot 11}{11 \cdot 8}}{1 - \frac{15}{88}} = \frac{\frac{40 + 33}{88}}{\frac{88 - 15}{88}} = \frac{\frac{73}{88}}{\frac{73}{88}} = 1$

Так как $\text{tg}(\alpha + \beta) = 1$, то $\alpha + \beta$ может быть равно $\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Теперь оценим, в каком диапазоне может находиться сумма $\alpha + \beta$. По условию задачи, оба угла находятся в первой четверти:

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$

Сложив эти два неравенства, получим:

$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 < \alpha + \beta < \pi$

Единственное значение вида $\frac{\pi}{4} + \pi n$, которое попадает в интервал $(0, \pi)$, — это $\frac{\pi}{4}$ (при $n=0$).

Следовательно, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим заданные выражения для $\text{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}a}{4 - a}$ и $\text{tg}\beta = \frac{a - 1}{\sqrt{3}}$:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{4-a} - \frac{a-1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{\sqrt{3}a}{4-a} \cdot \frac{a-1}{\sqrt{3}}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби:

Числитель: $\frac{\sqrt{3}a}{4-a} - \frac{a-1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}a - (a-1)(4-a)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{3a - (4a - a^2 - 4 + a)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{3a - (5a - a^2 - 4)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)}$

Знаменатель: $1 + \frac{\sqrt{3}a(a-1)}{\sqrt{3}(4-a)} = 1 + \frac{a(a-1)}{4-a} = \frac{4-a + a^2-a}{4-a} = \frac{a^2 - 2a + 4}{4-a}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)}}{\frac{a^2 - 2a + 4}{4-a}} = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)} \cdot \frac{4-a}{a^2 - 2a + 4} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Так как $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\alpha - \beta$ может быть равно $\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Оценим возможный диапазон для разности $\alpha - \beta$. Из условий $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\beta < 0$. Сложим неравенства для $\alpha$ и $-\beta$:

$0 - \frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2} + 0$

$-\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$

Единственное значение вида $\frac{\pi}{6} + \pi n$, которое попадает в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, — это $\frac{\pi}{6}$ (при $n=0$).

Следовательно, $\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$, что и требовалось доказать.

Заметим, что для существования тангенсов и выполнения условия $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$, необходимо, чтобы $\text{tg}\alpha > 0$ и $\text{tg}\beta > 0$. Это накладывает ограничения на параметр $a$: $1 < a < 4$, при которых вычисления корректны.

Ответ: Равенство доказано.

4.109. Докажите тождества:

1) $\frac{\sin(x-y)}{\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y} = \cos x \cos y;$

2) $\frac{\operatorname{ctg}x + \operatorname{ctg}y}{\sin(x+y)} = \frac{1}{\sin x \sin y};$

3) $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y} = \frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)};$

4) $\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)} = \frac{\operatorname{ctg}y - \operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}y + \operatorname{ctg}x}.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\sin(x-y)}{\text{tg}x - \text{tg}y} = \frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}}$
Приведем разность в знаменателе к общему знаменателю $\cos x \cos y$:
$\frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}$
В числителе дроби, находящейся в знаменателе, мы получили формулу синуса разности: $\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin(x-y)$. Подставим это выражение:
$\frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}}$
Теперь разделим числитель на знаменатель (то есть умножим на перевернутую дробь) и сократим $\sin(x-y)$:
$\sin(x-y) \cdot \frac{\cos x \cos y}{\sin(x-y)} = \cos x \cos y$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:
$\frac{\text{ctg}x + \text{ctg}y}{\sin(x+y)} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y}}{\sin(x+y)}$
Приведем сумму в числителе к общему знаменателю $\sin x \sin y$:
$\frac{\frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y}{\sin x \sin y}}{\sin(x+y)}$
В числителе дроби, находящейся в числителе, мы получили формулу синуса суммы: $\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x+y)$. Подставим это выражение:
$\frac{\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y}}{\sin(x+y)}$
Разделим числитель на знаменатель и сократим $\sin(x+y)$:
$\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} \cdot \frac{1}{\sin(x+y)} = \frac{1}{\sin x \sin y}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\text{tg}x - \text{tg}y} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}}$
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\cos x \cos y$:
$\frac{\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}$
Сократим общий знаменатель $\cos x \cos y$:
$\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\sin x \cos y - \cos x \sin y}$
В числителе мы получили формулу синуса суммы, а в знаменателе — формулу синуса разности:
$\frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество, преобразовав его правую часть. Представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:
$\frac{\text{ctg}y - \text{ctg}x}{\text{ctg}y + \text{ctg}x} = \frac{\frac{\cos y}{\sin y} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\cos x}{\sin x}}$
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\sin x \sin y$:
$\frac{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \sin y}}{\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\sin x \sin y}}$
Сократим общий знаменатель $\sin x \sin y$:
$\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \cos y + \cos x \sin y}$
В числителе мы получили формулу синуса разности, а в знаменателе — формулу синуса суммы:
$\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)}$
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.