Номер 4.106, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.106. Найдите:

1) $ \sin(\alpha+\beta) $ и $ \cos(\alpha-\beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{8}{17} $, $ \cos\beta = \frac{4}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $;

2) $ \cos(\alpha+\beta) $ и $ \sin(\alpha-\beta) $, если $ \sin\alpha = \frac{9}{41} $, $ \sin\beta = -\frac{40}{41} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $.

1)

Для нахождения $sin(\alpha+\beta)$ и $cos(\alpha-\beta)$ воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи нам даны $sin\alpha = \frac{8}{17}$ и $cos\beta = \frac{4}{5}$. Также известно, что углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), следовательно, их синусы и косинусы положительны.

Найдем $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{289-64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Аналогично найдем $sin\beta$:

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, когда у нас есть все четыре значения ($sin\alpha, cos\alpha, sin\beta, cos\beta$), подставим их в формулы сложения:

$sin(\alpha+\beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85}$

$cos(\alpha-\beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$

Ответ: $sin(\alpha+\beta) = \frac{77}{85}$, $cos(\alpha-\beta) = \frac{84}{85}$.

2)

Для нахождения $cos(\alpha+\beta)$ и $sin(\alpha-\beta)$ воспользуемся соответствующими формулами сложения:

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи нам даны $sin\alpha = \frac{9}{41}$ и $sin\beta = -\frac{40}{41}$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), а угол $\beta$ — в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$).

Найдем $cos\alpha$. Так как $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус будет отрицательным:

$cos\alpha = -\sqrt{1 - sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1681-81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}$

Найдем $cos\beta$. Так как $\beta$ находится в четвертой четверти, его косинус будет положительным:

$cos\beta = \sqrt{1 - sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{40}{41}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1600}{1681}} = \sqrt{\frac{1681-1600}{1681}} = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41}$

Теперь у нас есть все четыре значения. Подставим их в формулы:

$cos(\alpha+\beta) = \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \frac{9}{41} - \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = -\frac{360}{1681} - \left(-\frac{360}{1681}\right) = -\frac{360}{1681} + \frac{360}{1681} = 0$

$sin(\alpha-\beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{9}{41} - \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \left(-\frac{40}{41}\right) = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81-1600}{1681} = -\frac{1519}{1681}$

Ответ: $cos(\alpha+\beta) = 0$, $sin(\alpha-\beta) = -\frac{1519}{1681}$.