Номер 4.103, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.103. Вычислите:

$1) \cos 105^\circ$; $2) \cos 15^\circ$; $3) \sin \frac{\pi}{12}$; $4) \sin \frac{7\pi}{12}$; $5) \operatorname{tg} 75^\circ$; $6) \operatorname{ctg} 15^\circ$.

1) Для вычисления $cos105^\circ$ представим угол $105^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$.
$cos105^\circ = cos(60^\circ + 45^\circ) = cos60^\circ \cdot cos45^\circ - sin60^\circ \cdot sin45^\circ$.
Подставим известные значения тригонометрических функций:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2) Для вычисления $cos15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.
$cos15^\circ = cos(45^\circ - 30^\circ) = cos45^\circ \cdot cos30^\circ + sin45^\circ \cdot sin30^\circ$.
Подставим известные значения:
$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin30^\circ = \frac{1}{2}$.
$cos15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) Для вычисления $sin\frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух стандартных углов в радианах: $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ (так как $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$).
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.
$sin\frac{\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{\pi}{4} - cos\frac{\pi}{3} \cdot sin\frac{\pi}{4}$.
Подставим известные значения:
$sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

4) Для вычисления $sin\frac{7\pi}{12}$ представим угол $\frac{7\pi}{12}$ в виде суммы двух стандартных углов: $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ (так как $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$).
Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.
$sin\frac{7\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{3} + cos\frac{\pi}{4} \cdot sin\frac{\pi}{3}$.
Подставим известные значения:
$sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$sin\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

5) Для вычисления $tg75^\circ$ представим угол $75^\circ$ в виде суммы: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.
$tg75^\circ = tg(45^\circ + 30^\circ) = \frac{tg45^\circ + tg30^\circ}{1 - tg45^\circ \cdot tg30^\circ}$.
Подставим известные значения: $tg45^\circ = 1$ и $tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$tg75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$tg75^\circ = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

6) Для вычисления $ctg15^\circ$ представим угол $15^\circ$ в виде разности: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Воспользуемся формулой котангенса разности: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$.
$ctg15^\circ = ctg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{ctg45^\circ \cdot ctg30^\circ + 1}{ctg30^\circ - ctg45^\circ}$.
Подставим известные значения: $ctg45^\circ = 1$ и $ctg30^\circ = \sqrt{3}$.
$ctg15^\circ = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Это выражение совпадает с выражением для $tg75^\circ$ из предыдущего пункта. Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}+1)$:
$ctg15^\circ = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.