Номер 4.102, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.102. Проверьте истинность равенств:

1) $\frac{\sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ}{\sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ} = -1;$

2) $\frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} = 1;$

3) $\frac{\cos 63^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 27^\circ}{\cos 132^\circ \cos 72^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ} = 1;$

4) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 19^\circ} = 1;$

5) $\frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \cos 85^\circ \cos 25^\circ} = 1;$

6) $\frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \cos 20^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \cos 82^\circ \cos 22^\circ} = 1.$

1) Проверим равенство $ \frac{\sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \sin 66^\circ}{\sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ} = -1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулу приведения $ \sin 66^\circ = \sin(90^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ $.

Числитель примет вид: $ \sin 24^\circ \cos 6^\circ - \sin 6^\circ \cos 24^\circ $.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \sin(24^\circ - 6^\circ) = \sin 18^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Выражение $ \sin 21^\circ \cos 39^\circ - \sin 39^\circ \cos 21^\circ $ также является формулой синуса разности.

Таким образом, знаменатель равен $ \sin(21^\circ - 39^\circ) = \sin(-18^\circ) $.

Используя свойство нечетности синуса, $ \sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 18^\circ}{-\sin 18^\circ} = -1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

2) Проверим равенство $ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ $ и $ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $.

Числитель примет вид: $ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ $ и $ \cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ $.

Это также формула синуса суммы, поэтому знаменатель равен $ \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

3) Проверим равенство $ \frac{\cos 63^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 27^\circ}{\cos 132^\circ \cos 72^\circ - \cos 42^\circ \cos 18^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ $ и $ \cos 27^\circ = \cos(90^\circ - 63^\circ) = \sin 63^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 63^\circ \cos 3^\circ + \sin 63^\circ \sin 3^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \cos(63^\circ - 3^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 132^\circ = \cos(90^\circ + 42^\circ) = -\sin 42^\circ $ и $ \cos 72^\circ = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ (-\sin 42^\circ)(\sin 18^\circ) - \cos 42^\circ \cos 18^\circ = -(\cos 42^\circ \cos 18^\circ + \sin 42^\circ \sin 18^\circ) $.

Выражение в скобках является формулой косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ -(\cos(42^\circ - 18^\circ)) = -\cos 24^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 60^\circ}{-\cos 24^\circ} = \frac{1/2}{-\cos 24^\circ} \neq 1 $.

Равенство ложно.

Ответ: Ложно.

4) Проверим равенство $ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 3^\circ + \cos 87^\circ \cos 19^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ $ и $ \cos 26^\circ = \cos(90^\circ - 64^\circ) = \sin 64^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 64^\circ \cos 4^\circ - \sin 64^\circ \sin 4^\circ $.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен $ \cos(64^\circ + 4^\circ) = \cos 68^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 87^\circ = \cos(90^\circ - 3^\circ) = \sin 3^\circ $ и $ \cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 71^\circ \cos 3^\circ + \sin 71^\circ \sin 3^\circ $.

Это формула косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ \cos(71^\circ - 3^\circ) = \cos 68^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 68^\circ}{\cos 68^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

5) Проверим равенство $ \frac{\cos 66^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ - \cos 85^\circ \cos 25^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ $ и $ \cos 24^\circ = \cos(90^\circ - 66^\circ) = \sin 66^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 66^\circ \cos 4^\circ - \sin 66^\circ \sin 4^\circ $.

Это формула косинуса суммы, поэтому числитель равен $ \cos(66^\circ + 4^\circ) = \cos 70^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $ и $ \cos 25^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 65^\circ \cos 5^\circ - \sin 65^\circ \sin 5^\circ $.

Это также формула косинуса суммы, поэтому знаменатель равен $ \cos(65^\circ + 5^\circ) = \cos 70^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 70^\circ}{\cos 70^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.

6) Проверим равенство $ \frac{\cos 70^\circ \cos 10^\circ + \cos 80^\circ \cos 20^\circ}{\cos 68^\circ \cos 8^\circ + \cos 82^\circ \cos 22^\circ} = 1 $.

Преобразуем числитель. Используем формулы приведения: $ \cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ $ и $ \cos 20^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ $.

Числитель примет вид: $ \cos 70^\circ \cos 10^\circ + \sin 70^\circ \sin 10^\circ $.

Это формула косинуса разности, поэтому числитель равен $ \cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos 60^\circ $.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения: $ \cos 82^\circ = \cos(90^\circ - 8^\circ) = \sin 8^\circ $ и $ \cos 22^\circ = \cos(90^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ $.

Знаменатель примет вид: $ \cos 68^\circ \cos 8^\circ + \sin 68^\circ \sin 8^\circ $.

Это также формула косинуса разности, поэтому знаменатель равен $ \cos(68^\circ - 8^\circ) = \cos 60^\circ $.

Вся дробь равна $ \frac{\cos 60^\circ}{\cos 60^\circ} = 1 $.

Равенство истинно.

Ответ: Истинно.