Номер 4.104, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.104. Найдите:

1) $ \sin(\alpha-\beta) $, если $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $, $ \sin\beta = -0.6 $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $;

2) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $, если $ \operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{3} $;

3) $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $, если $ \sin\alpha = -\frac{40}{41} $, $ \operatorname{tg}\beta = \frac{9}{40} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

1) Для нахождения $sin(\alpha-\beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

По условию задачи имеем $cos\alpha = \frac{5}{13}$ и $sin\beta = -0,6 = -\frac{3}{5}$. Угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. Угол $\beta$ находится в интервале $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти.

Сначала найдем $sin\alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти, его синус положителен: $sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Далее найдем $cos\beta$. Снова используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в третьей четверти, его косинус отрицателен: $cos\beta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta = \frac{12}{13} \cdot (-\frac{4}{5}) - \frac{5}{13} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{-48+15}{65} = -\frac{33}{65}$.

Ответ: $-\frac{33}{65}$.

2) Для нахождения $tg(\frac{\pi}{6}+\alpha)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$.

По условию $ctg\alpha = \sqrt{3}$. Тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами, поэтому:

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ является стандартным: $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденные значения в формулу тангенса суммы:

$tg(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \frac{tg\frac{\pi}{6} + tg\alpha}{1 - tg\frac{\pi}{6} \cdot tg\alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Для нахождения $tg(\alpha+\beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

По условию $sin\alpha = -\frac{40}{41}$, $tg\beta = \frac{9}{40}$, и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти.

Сначала найдем $tg\alpha$. Для этого необходимо вычислить $cos\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, его косинус положителен: $cos\alpha = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41}$.

Теперь мы можем найти $tg\alpha$:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-40/41}{9/41} = -\frac{40}{9}$.

Подставим значения $tg\alpha = -\frac{40}{9}$ и $tg\beta = \frac{9}{40}$ в формулу тангенса суммы:

$tg(\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta} = \frac{-\frac{40}{9} + \frac{9}{40}}{1 - (-\frac{40}{9}) \cdot (\frac{9}{40})} = \frac{\frac{-40 \cdot 40 + 9 \cdot 9}{9 \cdot 40}}{1 - (-1)} = \frac{\frac{-1600+81}{360}}{2} = \frac{\frac{-1519}{360}}{2} = -\frac{1519}{720}$.

Ответ: $-\frac{1519}{720}$.