Номер 4.110, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.110. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражений:

1) $sinx+cosx;$

2) $\sqrt{3} cosy-siny;$

3) $sinu-\sqrt{3} cosu;$

4) $\sqrt{2} sinx+\sqrt{6} cosx;$

5) $3sinx+4cosx;$

6) $2siny-5cosy.$

1) $\sin x+\cos x$;
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений выражений вида $a \sin(\alpha) + b \cos(\alpha)$ используется метод введения вспомогательного угла. Согласно этому методу, выражение преобразуется к виду $R \sin(\alpha+\phi)$ или $R \cos(\alpha-\phi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Поскольку функции синуса и косинуса принимают значения на отрезке $[-1, 1]$, итоговое выражение будет принимать значения на отрезке $[-R, R]$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{a^2+b^2}$, а наибольшее — $\sqrt{a^2+b^2}$.
В данном случае $a=1$, $b=1$.
Наибольшее и наименьшее значения равны $\pm\sqrt{1^2+1^2} = \pm\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

2) $\sqrt{3} \cos y-\sin y$;
Представим выражение в виде $-\sin y + \sqrt{3} \cos y$. В этом выражении коэффициенты $a=-1$ и $b=\sqrt{3}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \pm\sqrt{1+3} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

3) $\sin u-\sqrt{3} \cos u$;
В этом выражении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \pm\sqrt{1+3} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

4) $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x$;
В этом выражении коэффициенты $a=\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{6}$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2} = \pm\sqrt{2+6} = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение: $2\sqrt{2}$.

5) $3\sin x+4\cos x$;
В этом выражении коэффициенты $a=3$ и $b=4$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{3^2+4^2} = \pm\sqrt{9+16} = \pm\sqrt{25} = \pm5$.
Ответ: наименьшее значение: $-5$, наибольшее значение: $5$.

6) $2\sin y-5\cos y$.
В этом выражении коэффициенты $a=2$ и $b=-5$.
Наименьшее и наибольшее значения равны $\pm\sqrt{a^2+b^2} = \pm\sqrt{2^2+(-5)^2} = \pm\sqrt{4+25} = \pm\sqrt{29}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{29}$, наибольшее значение: $\sqrt{29}$.