Номер 4.112, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.112. Сократите дроби:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{2 \cos \alpha};$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha};$

3) $\frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha};$

4) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}.$

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{\sin 2\alpha}{2 \cos \alpha} $, применим формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Подставив это выражение в числитель, получаем:

$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos \alpha} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos \alpha $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ \sin \alpha $.

2) Для сокращения дроби $ \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} $ используем ту же формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Подставляем в числитель:

$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} $

Сокращаем общий множитель $ \sin \alpha $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ 2 \cos \alpha $.

3) В дроби $ \frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin 2\alpha} $ используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ для знаменателя:

$ \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos \alpha $. Так как $ \cos^2 \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha $, после сокращения получаем $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Это выражение по определению равно котангенсу угла $ \alpha $.

Ответ: $ \cot \alpha $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} $, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $ (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) $.

Подставляем разложенное выражение в числитель:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} $

Сокращаем общий множитель $ (\cos \alpha + \sin \alpha) $.

Ответ: $ \cos \alpha - \sin \alpha $.