Номер 4.109, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.109. Докажите тождества:

1) $\frac{\sin(x-y)}{\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y} = \cos x \cos y;$

2) $\frac{\operatorname{ctg}x + \operatorname{ctg}y}{\sin(x+y)} = \frac{1}{\sin x \sin y};$

3) $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}y} = \frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)};$

4) $\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)} = \frac{\operatorname{ctg}y - \operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}y + \operatorname{ctg}x}.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\sin(x-y)}{\text{tg}x - \text{tg}y} = \frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}}$
Приведем разность в знаменателе к общему знаменателю $\cos x \cos y$:
$\frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}$
В числителе дроби, находящейся в знаменателе, мы получили формулу синуса разности: $\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin(x-y)$. Подставим это выражение:
$\frac{\sin(x-y)}{\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}}$
Теперь разделим числитель на знаменатель (то есть умножим на перевернутую дробь) и сократим $\sin(x-y)$:
$\sin(x-y) \cdot \frac{\cos x \cos y}{\sin(x-y)} = \cos x \cos y$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:
$\frac{\text{ctg}x + \text{ctg}y}{\sin(x+y)} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y}}{\sin(x+y)}$
Приведем сумму в числителе к общему знаменателю $\sin x \sin y$:
$\frac{\frac{\cos x \sin y + \sin x \cos y}{\sin x \sin y}}{\sin(x+y)}$
В числителе дроби, находящейся в числителе, мы получили формулу синуса суммы: $\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x+y)$. Подставим это выражение:
$\frac{\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y}}{\sin(x+y)}$
Разделим числитель на знаменатель и сократим $\sin(x+y)$:
$\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} \cdot \frac{1}{\sin(x+y)} = \frac{1}{\sin x \sin y}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:
$\frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{\text{tg}x - \text{tg}y} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}}$
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\cos x \cos y$:
$\frac{\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}}$
Сократим общий знаменатель $\cos x \cos y$:
$\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\sin x \cos y - \cos x \sin y}$
В числителе мы получили формулу синуса суммы, а в знаменателе — формулу синуса разности:
$\frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество, преобразовав его правую часть. Представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:
$\frac{\text{ctg}y - \text{ctg}x}{\text{ctg}y + \text{ctg}x} = \frac{\frac{\cos y}{\sin y} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos y}{\sin y} + \frac{\cos x}{\sin x}}$
Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $\sin x \sin y$:
$\frac{\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \sin y}}{\frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\sin x \sin y}}$
Сократим общий знаменатель $\sin x \sin y$:
$\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\sin x \cos y + \cos x \sin y}$
В числителе мы получили формулу синуса разности, а в знаменателе — формулу синуса суммы:
$\frac{\sin(x-y)}{\sin(x+y)}$
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.