Номер 4.113, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.113. Упростите выражения:

1) $cos2\alpha+\sin^2\alpha;$

2) $cos^2\alpha-cos2\alpha;$

3) $\frac{\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha};$

4) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} - \cos \alpha.$

1) Для упрощения выражения $cos2\alpha + \sin^2\alpha$ воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$cos2\alpha + \sin^2\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha$
Взаимно уничтожим $-\sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha$:
$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$
Ответ: $\cos^2\alpha$

2) Для упрощения выражения $\cos^2\alpha - \cos2\alpha$ также используем формулу косинуса двойного угла: $cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$\cos^2\alpha - \cos2\alpha = \cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$
Раскроем скобки, поменяв знаки внутри на противоположные:
$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha$
Ответ: $\sin^2\alpha$

3) Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$. Оно похоже на формулу тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
Чтобы привести наше выражение к этой формуле, домножим и разделим его на 2:
$\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$
Теперь мы можем заменить дробь на $\operatorname{tg}2\alpha$:
$\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}2\alpha = \frac{\operatorname{tg}2\alpha}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}\operatorname{tg}2\alpha$

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \cos\alpha$ представим числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставим в выражение:
$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} - \cos\alpha$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\cos\alpha + \sin\alpha} - \cos\alpha$
Сократим дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$ (при условии, что он не равен нулю):
$(\cos\alpha - \sin\alpha) - \cos\alpha$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\cos\alpha - \sin\alpha - \cos\alpha = -\sin\alpha$
Ответ: $-\sin\alpha$