Вопросы, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулы $ \sin 2\alpha $, $ \cos 2\alpha $, $ \operatorname{tg} 2\alpha $, $ \operatorname{ctg} 2\alpha $ и докажите их.

2. Напишите формулы $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $ и докажите их.

1. Формулы двойного угла являются следствием формул сложения углов, если положить в них слагаемые углы равными. Исходными служат формулы сложения:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\beta + \text{ctg}\alpha}$

Взяв $\beta = \alpha$ в каждой из этих формул, мы получим формулы для двойного угла $2\alpha$.

Формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Доказательство:
В формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ положим $\beta = \alpha$:
$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Что и требовалось доказать.

Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Доказательство:
В формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ положим $\beta = \alpha$:
$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Эту формулу можно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выразив либо $\sin^2\alpha$, либо $\cos^2\alpha$:
1. $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
2. $\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Формула тангенса двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$

Доказательство:
В формуле тангенса суммы $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$ положим $\beta = \alpha$:
$\text{tg}(2\alpha) = \text{tg}(\alpha + \alpha) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\alpha} = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$.

Формула котангенса двойного угла: $\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\text{ctg}^2\alpha - 1}{2\text{ctg}\alpha}$

Доказательство:
В формуле котангенса суммы $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\beta + \text{ctg}\alpha}$ положим $\beta = \alpha$:
$\text{ctg}(2\alpha) = \text{ctg}(\alpha + \alpha) = \frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\alpha - 1}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\alpha} = \frac{\text{ctg}^2\alpha - 1}{2\text{ctg}\alpha}$.

Ответ:
$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$
$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$
$\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\text{ctg}^2\alpha - 1}{2\text{ctg}\alpha}$

2. Формулы половинного угла выводятся из формул косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$ и $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$.
Для этого достаточно произвести замену $x = \frac{\alpha}{2}$, что приводит к замене $2x = \alpha$. В результате получаем:
$\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$
$\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$
Из этих соотношений и выводятся искомые формулы.

Формула синуса половинного угла: $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

Доказательство:
Из соотношения $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ выразим $\sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha \implies \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ или $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$.
Знак (плюс или минус) перед корнем определяется знаком $\sin\frac{\alpha}{2}$, то есть четвертью, в которой находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Формула косинуса половинного угла: $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

Доказательство:
Из соотношения $\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$ выразим $\cos^2\frac{\alpha}{2}$:
$2\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 + \cos\alpha \implies \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$|\cos\frac{\alpha}{2}| = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ или $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$.
Знак перед корнем определяется знаком $\cos\frac{\alpha}{2}$, то есть четвертью, в которой находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Формулы тангенса половинного угла: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

Доказательство:
Для вывода этих формул используем тождества двойного угла для $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:
1. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$.
2. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$.
Также, разделив формулу для $\sin\frac{\alpha}{2}$ на формулу для $\cos\frac{\alpha}{2}$, получим:$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$.

Формулы котангенса половинного угла: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}$

Доказательство:
Формулы для котангенса можно получить аналогично или просто как обратные к формулам для тангенса:
1. $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$.
2. $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}$.
Также, разделив формулу для $\cos\frac{\alpha}{2}$ на формулу для $\sin\frac{\alpha}{2}$, получим:$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}}$.

Ответ:
$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$
$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}}$