Номер 4.114, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.114. Упростите выражения:

1) $ \cos^4 2x - \sin^4 2x; $

2) $ \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha}; $

3) $ 1 + \cos 2x + 2\sin^2 x; $

4) $ 2\sin^2 \alpha - 1; $

5) $ \sin^2 x + \cos^4 x - 0,75; $

6) $ 2\cos^2 x - 1. $

1) $ \cos^4{2x} - \sin^4{2x} $

Для упрощения этого выражения используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $, где $ a = \cos^2{2x} $ и $ b = \sin^2{2x} $.

$ \cos^4{2x} - \sin^4{2x} = (\cos^2{2x})^2 - (\sin^2{2x})^2 = (\cos^2{2x} - \sin^2{2x})(\cos^2{2x} + \sin^2{2x}) $

Первая скобка, $ \cos^2{2x} - \sin^2{2x} $, является формулой косинуса двойного угла для аргумента $ 2x $, то есть $ \cos(2 \cdot 2x) = \cos{4x} $.

Вторая скобка, $ \cos^2{2x} + \sin^2{2x} $, согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, равна 1.

Таким образом, получаем:

$ (\cos{4x}) \cdot 1 = \cos{4x} $

Ответ: $ \cos{4x} $

2) $ \frac{\cos{2\alpha}}{\cos{\alpha}} - \frac{\sin{2\alpha}}{\sin{\alpha}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos\alpha \sin\alpha $:

$ \frac{\cos{2\alpha}\sin{\alpha} - \sin{2\alpha}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\sin{\alpha}} $

Числитель дроби $ \sin{\alpha}\cos{2\alpha} - \cos{\alpha}\sin{2\alpha} $ соответствует формуле синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $, где $ x = \alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) $

Поскольку синус является нечетной функцией, $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha\sin\alpha} $

Сократим $ \sin\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \cos\alpha \neq 0 $, что необходимо для существования исходного выражения).

$ -\frac{1}{\cos\alpha} $

Ответ: $ -\frac{1}{\cos\alpha} $

3) $ 1 + \cos{2x} + 2\sin^2{x} $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} $. Эта форма удобна, так как в выражении уже есть слагаемое $ 2\sin^2{x} $.

Подставляем формулу в выражение:

$ 1 + (1 - 2\sin^2{x}) + 2\sin^2{x} $

Слагаемые $ -2\sin^2{x} $ и $ 2\sin^2{x} $ взаимно уничтожаются:

$ 1 + 1 = 2 $

Ответ: $ 2 $

4) $ 2\sin^2{\alpha} - 1 $

Это выражение очень похоже на одну из формул косинуса двойного угла: $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $.

Вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к известной формуле:

$ 2\sin^2{\alpha} - 1 = -(1 - 2\sin^2{\alpha}) $

Теперь выражение в скобках равно $ \cos{2\alpha} $. Следовательно:

$ -(1 - 2\sin^2{\alpha}) = -\cos{2\alpha} $

Ответ: $ -\cos{2\alpha} $

5) $ \sin^2{x} + \cos^4{x} - 0,75 $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} $ и заменим $ 0,75 $ на $ \frac{3}{4} $.

$ (1 - \cos^2{x}) + \cos^4{x} - \frac{3}{4} $

Перегруппируем слагаемые:

$ \cos^4{x} - \cos^2{x} + (1 - \frac{3}{4}) = \cos^4{x} - \cos^2{x} + \frac{1}{4} $

Полученное выражение является полным квадратом разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \cos^2{x} $ и $ b = \frac{1}{2} $.

$ (\cos^2{x})^2 - 2 \cdot \cos^2{x} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (\cos^2{x} - \frac{1}{2})^2 $

Теперь используем формулу понижения степени $ \cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} $.

$ (\frac{1 + \cos{2x}}{2} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1 + \cos{2x} - 1}{2})^2 = (\frac{\cos{2x}}{2})^2 = \frac{\cos^2{2x}}{4} $

Ответ: $ \frac{\cos^2{2x}}{4} $

6) $ 2\cos^2{x} - 1 $

Данное выражение является одной из стандартных формул для косинуса двойного угла.

$ \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 $

Таким образом, выражение можно сразу заменить на $ \cos{2x} $.

Ответ: $ \cos{2x} $