Номер 4.116, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.116. Сократите дроби:

1) $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ};$

2) $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ};$

3) $\frac{\sin 100^\circ}{\cos 50^\circ};$

4) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}.$

1) Для того чтобы сократить дробь $ \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} $, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

В данном случае, $ \alpha = 20^{\circ} $, тогда $ 2\alpha = 40^{\circ} $.

Представим числитель в виде: $ \sin 40^{\circ} = \sin(2 \cdot 20^{\circ}) = 2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ} $.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$ \frac{2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} $

Сократим $ \sin 20^{\circ} $ в числителе и знаменателе, так как $ \sin 20^{\circ} \neq 0 $.

Получаем: $ 2\cos 20^{\circ} $.

Ответ: $ 2\cos 20^{\circ} $.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}} $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Здесь $ \alpha = 40^{\circ} $, тогда $ 2\alpha = 80^{\circ} $.

Представим числитель в виде: $ \cos 80^{\circ} = \cos(2 \cdot 40^{\circ}) = \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} $.

Выражение $ \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \cos^2 40^{\circ} - \sin^2 40^{\circ} = (\cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ})(\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}) $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$ \frac{(\cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ})(\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ})}{\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}} $

Сократим одинаковый множитель $ (\cos 40^{\circ} + \sin 40^{\circ}) $ в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю.

В результате получаем: $ \cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ} $.

Ответ: $ \cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ} $.

3) Для сокращения дроби $ \frac{\sin 100^{\circ}}{\cos 50^{\circ}} $ применим формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Заметим, что $ 100^{\circ} = 2 \cdot 50^{\circ} $. Положим $ \alpha = 50^{\circ} $.

Тогда числитель можно преобразовать: $ \sin 100^{\circ} = \sin(2 \cdot 50^{\circ}) = 2\sin 50^{\circ}\cos 50^{\circ} $.

Подставим это в нашу дробь:

$ \frac{2\sin 50^{\circ}\cos 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}} $

Сокращаем $ \cos 50^{\circ} $ в числителе и знаменателе, поскольку $ \cos 50^{\circ} \neq 0 $.

Получаем: $ 2\sin 50^{\circ} $.

Ответ: $ 2\sin 50^{\circ} $.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{\cos 36^{\circ} + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $.

Заметим, что $ 36^{\circ} = 2 \cdot 18^{\circ} $. Применим формулу косинуса двойного угла к $ \cos 36^{\circ} $.

Существует три варианта формулы: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $, $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $ и $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Выберем последнюю формулу, так как в числителе уже есть слагаемое $ \sin^2 18^{\circ} $. Положим $ \alpha = 18^{\circ} $.

$ \cos 36^{\circ} = \cos(2 \cdot 18^{\circ}) = 1 - 2\sin^2 18^{\circ} $.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$ \frac{(1 - 2\sin^2 18^{\circ}) + \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} = \frac{1 - \sin^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Для $ \alpha = 18^{\circ} $ получаем: $ 1 - \sin^2 18^{\circ} = \cos^2 18^{\circ} $.

Таким образом, наша дробь принимает вид:

$ \frac{\cos^2 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}} $

Сократим $ \cos 18^{\circ} $ в числителе и знаменателе, так как $ \cos 18^{\circ} \neq 0 $.

В итоге получаем: $ \cos 18^{\circ} $.

Ответ: $ \cos 18^{\circ} $.