Номер 4.120, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.120. Упростите выражения:

1) $ \frac{1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2} - 1} $;

2) $ 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{3x}{2}\right) - 1 $;

3) $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha - \cos2\alpha $;

4) $ 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{3x}{2}\right) - 1 $.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$.

В числителе дроби $1-2\sin^2\frac{x}{2}$ мы видим формулу $\cos(2\alpha)$ при $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $1-2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

В знаменателе дроби $2\cos^2\frac{x}{2}-1$ мы также видим формулу $\cos(2\alpha)$ при $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $2\cos^2\frac{x}{2}-1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{1-2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}-1} = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Ответ: 1.

2) Для упрощения выражения $2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) - 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$.

Преобразуем исходное выражение:

$2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) - 1 = -(1 - 2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}))$.

В скобках мы видим формулу $\cos(2\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}$.

Найдем $2\alpha$: $2\alpha = 2 \cdot (\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) = \frac{\pi}{2} + 3x$.

Тогда выражение равно $-\cos(\frac{\pi}{2} + 3x)$.

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin\beta$, где $\beta = 3x$, получаем:

$-\cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -(-\sin(3x)) = \sin(3x)$.

Ответ: $\sin(3x)$.

3) Упростим выражение $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha - \cos(2\alpha)$.

Рассмотрим первую часть выражения $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставляя эти тождества, получаем:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos(2\alpha)) \cdot 1 = \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) = 0$.

Ответ: 0.

4) Для упрощения выражения $2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}) - 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1$.

В данном выражении мы видим эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}$.

Найдем $2\alpha$: $2\alpha = 2 \cdot (\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}) = \frac{\pi}{2} - 3x$.

Следовательно, исходное выражение равно $\cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$.

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin\beta$, где $\beta = 3x$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = \sin(3x)$.

Ответ: $\sin(3x)$.