Номер 4.117, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.117. Найдите:

1) $sin2\alpha$, $cos2\alpha$, $tg2\alpha$ и $ctg2\alpha$, если $tg\alpha=\frac{3}{4}$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$;

2) $cos2\alpha$ и $sin2\alpha$, если $sin\alpha=-\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Дано: $\tan\alpha = \frac{3}{4}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Для нахождения искомых величин можно сначала найти $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Из тождества $1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ найдем $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$), его косинус отрицателен:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin\alpha$ с помощью тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5}$.

Синус в третьей четверти также отрицателен, что соответствует результату.

Теперь, используя формулы двойного угла, найдем искомые значения:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}$.

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

$\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}$.

$\cot(2\alpha) = \frac{1}{\tan(2\alpha)} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{24}{25}, \cos(2\alpha) = \frac{7}{25}, \tan(2\alpha) = \frac{24}{7}, \cot(2\alpha) = \frac{7}{24}$.

2) Дано: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Условие $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ означает, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен.

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь найдем $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$ по формулам двойного угла.

Для $\cos(2\alpha)$ можно использовать формулу, зависящую только от $\sin\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{288}{169} = \frac{169-288}{169} = -\frac{119}{169}$.

Для $\sin(2\alpha)$ используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{169} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}, \sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$.