Номер 4.101, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.101. Докажите тождества:

1) $\sin(30^\circ+x)\cos x-\cos(30^\circ+x)\sin x=0,5;$

2) $\cos(60^\circ+x)\cos x+\sin(60^\circ+x)\sin x=0,5;$

3) $\frac{0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ}{\sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\frac{\sin^2 (x + y) + \sin^2 (x - y)}{2 \cos^2 x \cos^2 y} = \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg}^2 y;$

5) $\frac{\operatorname{tg}(x-y)+\operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}(x+y)-\operatorname{tg}y} = \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)}.$

1) Для доказательства используем формулу синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
В левой части тождества $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x $ примем $ \alpha = 30^\circ+x $ и $ \beta = x $.
Тогда выражение преобразуется в $ \sin((30^\circ+x) - x) $.
Упрощаем выражение в скобках: $ \sin(30^\circ) $.
Значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $, что равно 0,5.
Таким образом, $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x = \sin(30^\circ) = 0,5 $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \sin(30^\circ+x)\cos x - \cos(30^\circ+x)\sin x = 0,5 $.

2) Для доказательства используем формулу косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
В левой части тождества $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x $ примем $ \alpha = 60^\circ+x $ и $ \beta = x $.
Тогда выражение преобразуется в $ \cos((60^\circ+x) - x) $.
Упрощаем выражение в скобках: $ \cos(60^\circ) $.
Значение косинуса 60 градусов равно $ \frac{1}{2} $, что равно 0,5.
Таким образом, $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x = \cos(60^\circ) = 0,5 $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \cos(60^\circ+x)\cos x + \sin(60^\circ+x)\sin x = 0,5 $.

3) Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ 0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ $.
Представим $ \cos 10^\circ $ как косинус разности: $ \cos 10^\circ = \cos(30^\circ - 20^\circ) $.
Используем формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(30^\circ - 20^\circ) = \cos 30^\circ \cos 20^\circ + \sin 30^\circ \sin 20^\circ $.
Подставим известные значения $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin 30^\circ = 0,5 $:
$ \cos 10^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + 0,5 \sin 20^\circ $.
Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:
$ 0,5 \sin 20^\circ - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ + 0,5 \sin 20^\circ) = 0,5 \sin 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - 0,5 \sin 20^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ $.
Знаменатель: $ \sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos 3^\circ \cos 17^\circ - \sin 3^\circ \sin 17^\circ) $.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
При $ \alpha = 3^\circ $ и $ \beta = 17^\circ $ получаем: $ -(\cos(3^\circ + 17^\circ)) = -\cos(20^\circ) $.
Дробь: Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ}{-\cos 20^\circ} $.
Сокращая $ -\cos 20^\circ $ (при условии, что $ \cos 20^\circ \neq 0 $), получаем $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тождество доказано.
Ответ: $ \frac{0,5 \sin 20^\circ - \cos 10^\circ}{\sin 3^\circ \sin 17^\circ - \cos 3^\circ \cos 17^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4) Преобразуем левую часть тождества.
Числитель: $ \sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) $.
Используем формулы синуса суммы и разности:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
Возводим оба выражения в квадрат и складываем:
$ \sin^2(x+y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y)^2 = \sin^2 x \cos^2 y + 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x-y) = (\sin x \cos y - \cos x \sin y)^2 = \sin^2 x \cos^2 y - 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) = 2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y) $.
Левая часть: Подставим полученное выражение для числителя в левую часть исходного тождества:
$ \frac{2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} $.
Разделим дробь на два слагаемых:
$ \frac{\sin^2 x \cos^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} + \frac{\cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} $.
Сокращаем дроби и используем определение тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \text{tg}^2 x + \text{tg}^2 y $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ \frac{\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \text{tg}^2 x + \text{tg}^2 y $.

5) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенсы через синусы и косинусы: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Числитель левой части:
$ \text{tg}(x-y) + \text{tg}y = \frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)} + \frac{\sin y}{\cos y} $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{\sin(x-y)\cos y + \cos(x-y)\sin y}{\cos(x-y)\cos y} $.
В числителе получилась формула синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) $ для $ \alpha = x-y $ и $ \beta = y $:
$ \frac{\sin((x-y)+y)}{\cos(x-y)\cos y} = \frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y} $.
Знаменатель левой части:
$ \text{tg}(x+y) - \text{tg}y = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} - \frac{\sin y}{\cos y} $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{\sin(x+y)\cos y - \cos(x+y)\sin y}{\cos(x+y)\cos y} $.
В числителе получилась формула синуса разности $ \sin(\alpha-\beta) $ для $ \alpha = x+y $ и $ \beta = y $:
$ \frac{\sin((x+y)-y)}{\cos(x+y)\cos y} = \frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y} $.
Вся левая часть: Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$ \frac{\frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y}}{\frac{\sin x}{\cos(x+y)\cos y}} = \frac{\sin x}{\cos(x-y)\cos y} \cdot \frac{\cos(x+y)\cos y}{\sin x} $.
Сокращаем $ \sin x $ и $ \cos y $ (при условии, что они не равны нулю):
$ \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)} $.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: $ \frac{\text{tg}(x-y) + \text{tg}y}{\text{tg}(x+y) - \text{tg}y} = \frac{\cos(x+y)}{\cos(x-y)} $.