Номер 4.75, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.75. Вычислите:

1) $\sin 225^\circ \cos 120^\circ \operatorname{tg} 330^\circ \operatorname{ctg} 240^\circ;$

2) $\sin \frac{7\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{6} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3};$

3) $\cos (-7.9\pi) \operatorname{tg} (-1.1\pi) - \sin 5.6\pi \operatorname{ctg} 4.4\pi;$

4) $\sin 5.9\pi \operatorname{tg} (-0.6\pi) + \cos 3.6\pi \operatorname{ctg} (-4.9\pi).$

1) $\sin225^\circ\cos120^\circ\text{tg}330^\circ\text{ctg}240^\circ$

Для решения воспользуемся формулами приведения, чтобы привести аргументы тригонометрических функций к острым углам.

1. Вычисляем значение для $\sin225^\circ$:
$225^\circ$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Вычисляем значение для $\cos120^\circ$:
$120^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2}$

3. Вычисляем значение для $\text{tg}330^\circ$:
$330^\circ$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.
$\text{tg}330^\circ = \text{tg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

4. Вычисляем значение для $\text{ctg}240^\circ$:
$240^\circ$ находится в третьей четверти, где котангенс положителен.
$\text{ctg}240^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{ctg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

5. Теперь перемножим все полученные значения:
$\sin225^\circ\cos120^\circ\text{tg}330^\circ\text{ctg}240^\circ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{(\sqrt{3})^2}{9}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{3}{9}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{12}$

Ответ:$-\frac{\sqrt{2}}{12}$

2) $\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$

Используем формулы приведения для углов, заданных в радианах.

1. $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. $\text{tg}\frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

4. $\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

5. Перемножаем полученные значения:
$\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left(-\frac{(\sqrt{3})^2}{3}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ:$-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3) $\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi)-\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi)$

Упростим каждый член выражения, используя свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций. Период косинуса и синуса равен $2\pi$, а тангенса и котангенса - $\pi$.

1. Упростим первую часть выражения $\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi)$:
$\cos(-7,9\pi) = \cos(7,9\pi) = \cos(8\pi - 0,1\pi) = \cos(-0,1\pi) = \cos(0,1\pi)$
$\text{tg}(-1,1\pi) = -\text{tg}(1,1\pi) = -\text{tg}(\pi + 0,1\pi) = -\text{tg}(0,1\pi)$
$\cos(-7,9\pi)\text{tg}(-1,1\pi) = \cos(0,1\pi) \cdot (-\text{tg}(0,1\pi)) = \cos(0,1\pi) \cdot \left(-\frac{\sin(0,1\pi)}{\cos(0,1\pi)}\right) = -\sin(0,1\pi)$

2. Упростим вторую часть выражения $\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi)$:
$\sin(5,6\pi) = \sin(6\pi - 0,4\pi) = \sin(-0,4\pi) = -\sin(0,4\pi)$
$\text{ctg}(4,4\pi) = \text{ctg}(4\pi + 0,4\pi) = \text{ctg}(0,4\pi)$
$\sin(5,6\pi)\text{ctg}(4,4\pi) = -\sin(0,4\pi) \cdot \text{ctg}(0,4\pi) = -\sin(0,4\pi) \cdot \frac{\cos(0,4\pi)}{\sin(0,4\pi)} = -\cos(0,4\pi)$

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(-\sin(0,1\pi)) - (-\cos(0,4\pi)) = \cos(0,4\pi) - \sin(0,1\pi)$

4. Воспользуемся формулой приведения для комплементарных углов: $\sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Заметим, что $0,1\pi + 0,4\pi = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $\sin(0,1\pi) = \cos(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \cos(0,4\pi)$.

5. Подставим это в наше выражение:
$\cos(0,4\pi) - \cos(0,4\pi) = 0$

Ответ:0

4) $\sin(5,9\pi)\text{tg}(-0,6\pi)+\cos(3,6\pi)\text{ctg}(-4,9\pi)$

Упростим каждый член выражения, используя свойства четности/нечетности и периодичности.

1. Упростим первую часть выражения $\sin(5,9\pi)\text{tg}(-0,6\pi)$:
$\sin(5,9\pi) = \sin(6\pi - 0,1\pi) = \sin(-0,1\pi) = -\sin(0,1\pi)$
$\text{tg}(-0,6\pi) = -\text{tg}(0,6\pi) = -\text{tg}(\pi - 0,4\pi) = -(-\text{tg}(0,4\pi)) = \text{tg}(0,4\pi)$
Таким образом, первая часть равна $-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi)$.

2. Упростим вторую часть выражения $\cos(3,6\pi)\text{ctg}(-4,9\pi)$:
$\cos(3,6\pi) = \cos(4\pi - 0,4\pi) = \cos(-0,4\pi) = \cos(0,4\pi)$
$\text{ctg}(-4,9\pi) = -\text{ctg}(4,9\pi) = -\text{ctg}(5\pi - 0,1\pi) = -(-\text{ctg}(0,1\pi)) = \text{ctg}(0,1\pi)$
Таким образом, вторая часть равна $\cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi)$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) + \cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi)$

4. Как и в предыдущем примере, углы $0,1\pi$ и $0,4\pi$ являются комплементарными, так как их сумма равна $\frac{\pi}{2}$. Используем формулы приведения для комплементарных углов:
$\cos(0,4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} - 0,4\pi) = \sin(0,1\pi)$
$\text{ctg}(0,1\pi) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \text{tg}(0,4\pi)$

5. Подставим эти соотношения во вторую часть выражения:
$\cos(0,4\pi)\text{ctg}(0,1\pi) = \sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi)$

6. Теперь все выражение выглядит так:
$-\sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) + \sin(0,1\pi)\text{tg}(0,4\pi) = 0$

Ответ:0