Номер 4.68, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.68. Вычислите:

1) $3\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{2\pi}{3}+6\sin\frac{13\pi}{6}$;$

2) $2\text{tg}180^{\circ}-0,5\sin(-270^{\circ})+0,5\cos180^{\circ}$.$

1) $3\sin\frac{\pi}{2} + 4\cos\frac{2\pi}{3} + 6\sin\frac{13\pi}{6}$

Для решения данного выражения, вычислим значения каждой тригонометрической функции по отдельности, используя их свойства и табличные значения.

Значение $\sin\frac{\pi}{2}$ (синус 90°) равно 1.

Для вычисления $\cos\frac{2\pi}{3}$ (косинус 120°) можно использовать формулу приведения. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен:
$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Для вычисления $\sin\frac{13\pi}{6}$ выделим целую часть оборотов ($2\pi$), так как синус является периодической функцией с периодом $2\pi$:
$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\sin\frac{13\pi}{6} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$3\sin\frac{\pi}{2} + 4\cos\frac{2\pi}{3} + 6\sin\frac{13\pi}{6} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 + 3 = 4$.

Ответ: 4.

2) $2\operatorname{tg}180^\circ - 0.5\sin(-270^\circ) + 0.5\cos180^\circ$

Вычислим значения тригонометрических функций для каждого слагаемого.

Значение тангенса для угла $180^\circ$ является табличным:
$\operatorname{tg}180^\circ = 0$.

Для вычисления синуса от отрицательного угла воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-270^\circ) = -\sin(270^\circ) = -(-1) = 1$.
Альтернативный способ: найти котерминальный угол, прибавив $360^\circ$.
$-270^\circ + 360^\circ = 90^\circ$.
$\sin(-270^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.

Значение косинуса для угла $180^\circ$ является табличным:
$\cos180^\circ = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и произведем расчет:
$2\operatorname{tg}180^\circ - 0.5\sin(-270^\circ) + 0.5\cos180^\circ = 2 \cdot 0 - 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot (-1) = 0 - 0.5 - 0.5 = -1$.

Ответ: -1.