Номер 4.64, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Найдите значения sin$\alpha$, cos$\alpha$, tg$\alpha$ и ctg$\alpha$, если:

1) $\alpha = \frac{3\pi}{2}$;

2) $\alpha = \frac{3\pi}{4}$;

3) $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

1) Если $ \alpha = \frac{3\pi}{2} $, то для нахождения значений тригонометрических функций воспользуемся единичной окружностью. Углу $ \frac{3\pi}{2} $ на единичной окружности соответствует точка с координатами $ (0, -1) $.

Синус угла равен ординате (координате y) этой точки:
$ \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 $.

Косинус угла равен абсциссе (координате x) этой точки:
$ \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0 $.

Тангенс (tg) вычисляется по формуле $ \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} $:
$ \tan{\frac{3\pi}{2}} = \frac{-1}{0} $. Так как деление на ноль невозможно, значение тангенса для данного угла не определено.

Котангенс (ctg) вычисляется по формуле $ \cot{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} $:
$ \cot{\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Ответ: $ \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 $, $ \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0 $, $ \tan{\frac{3\pi}{2}} $ не существует, $ \cot{\frac{3\pi}{2}} = 0 $.

2) Если $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $, то для нахождения значений тригонометрических функций используем формулы приведения. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi $). В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Представим угол как $ \frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} $ и используем табличные значения для угла $ \frac{\pi}{4} $.
$ \sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin{(\pi - \frac{\pi}{4})} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos{\frac{3\pi}{4}} = \cos{(\pi - \frac{\pi}{4})} = -\cos{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \tan{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sin{\frac{3\pi}{4}}}{\cos{\frac{3\pi}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $.

$ \cot{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\cos{\frac{3\pi}{4}}}{\sin{\frac{3\pi}{4}}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $.

Ответ: $ \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \tan{\frac{3\pi}{4}} = -1 $, $ \cot{\frac{3\pi}{4}} = -1 $.

3) Если $ \alpha = \frac{5\pi}{6} $, также воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{6} $ находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $). В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Представим угол как $ \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} $ и используем табличные значения для угла $ \frac{\pi}{6} $.
$ \sin{\frac{5\pi}{6}} = \sin{(\pi - \frac{\pi}{6})} = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} $.

$ \cos{\frac{5\pi}{6}} = \cos{(\pi - \frac{\pi}{6})} = -\cos{\frac{\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \tan{\frac{5\pi}{6}} = \frac{\sin{\frac{5\pi}{6}}}{\cos{\frac{5\pi}{6}}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

$ \cot{\frac{5\pi}{6}} = \frac{\cos{\frac{5\pi}{6}}}{\sin{\frac{5\pi}{6}}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ \sin{\frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2} $, $ \cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \tan{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \cot{\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} $.