Номер 4.62, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.62. Приведите выражения к тригонометрической функции угла из промежутка $ (0; \frac{\pi}{2}) $:

1) $ \cos 0,7\pi; $

2) $ \text{ctg} \left( -\frac{3\pi}{7} \right); $

3) $ \sin 1,6\pi; $

4) $ \text{tg} \left( -\frac{9\pi}{5} \right). $

1) Угол $0,7\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,7\pi < \pi$. Во второй четверти косинус отрицателен. Для приведения к углу из первой четверти воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Представим угол $0,7\pi$ как разность $\pi - 0,3\pi$:
$\cos(0,7\pi) = \cos(\pi - 0,3\pi) = -\cos(0,3\pi)$.
Угол $0,3\pi$ принадлежит требуемому промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, поскольку $0 < 0,3\pi < 0,5\pi$.
Ответ: $-\cos(0,3\pi)$.

2) Котангенс является нечетной функцией, поэтому для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$\ctg(-\frac{3\pi}{7}) = -\ctg(\frac{3\pi}{7})$.
Проверим, принадлежит ли угол $\frac{3\pi}{7}$ промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$. Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $3 \cdot 2 < 7 \cdot 1$ ($6 < 7$), то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, и следовательно, $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\ctg(\frac{3\pi}{7})$.

3) Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$. В этой четверти синус отрицателен. Воспользуемся формулой приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Представим угол $1,6\pi$ как разность $2\pi - 0,4\pi$:
$\sin(1,6\pi) = \sin(2\pi - 0,4\pi) = -\sin(0,4\pi)$.
Угол $0,4\pi$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, поскольку $0 < 0,4\pi < 0,5\pi$.
Ответ: $-\sin(0,4\pi)$.

4) Воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $\pi$, но также можно использовать и $2\pi$. Прибавим к аргументу $2\pi$, чтобы получить угол в стандартном диапазоне.
$\tg(-\frac{9\pi}{5}) = \tg(-\frac{9\pi}{5} + 2\pi) = \tg(\frac{-9\pi + 10\pi}{5}) = \tg(\frac{\pi}{5})$.
Угол $\frac{\pi}{5}$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, так как $0 < \frac{1}{5} < \frac{1}{2}$.
Ответ: $\tg(\frac{\pi}{5})$.