Номер 4.59, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.59. Может ли функция $y=x^2+6x-1$ принимать значение, равное:

1) $-1$;

2) $-8$;

3) $-11$?

Чтобы определить, может ли функция $y=x^2+6x-1$ принимать заданные значения, мы можем найти ее область значений. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$ и $b=6$.

$x_v = -6 / (2 \cdot 1) = -3$.

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -3$ в уравнение функции. Это значение и будет наименьшим значением функции.

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-10$. Область значений функции — это все числа, большие или равные $-10$, то есть промежуток $[-10; +\infty)$. Функция может принять любое значение $y$, если $y \ge -10$.

1) Может ли функция принять значение, равное $-1$?

Сравним значение $-1$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-1 > -10$, это значение входит в область значений функции. Следовательно, функция может принять значение $-1$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -1$:

$x^2+6x = 0$

$x(x+6) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$. Поскольку существуют действительные значения $x$, при которых $y = -1$, функция может принимать это значение.

Ответ: Да, может.

2) Может ли функция принять значение, равное $-8$?

Сравним значение $-8$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-8 > -10$, это значение входит в область значений функции. Следовательно, функция может принять значение $-8$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -8$:

$x^2+6x+7 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, функция может принять значение $-8$.

Ответ: Да, может.

3) Может ли функция принять значение, равное $-11$?

Сравним значение $-11$ с наименьшим значением функции $-10$. Так как $-11 < -10$, это значение не входит в область значений функции. Следовательно, функция не может принять значение $-11$.

Для подтверждения решим уравнение $x^2+6x-1 = -11$:

$x^2+6x+10 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что функция не может принять значение $-11$.

Ответ: Нет, не может.