Номер 4.55, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Пусть функция $y=f(x)$ четная и:

1) $f(x)=\sqrt{x}, x \ge 0;$

2) $f(x)=x^2-3x, x \ge 0;$

3) $f(x)=x^2-2x, x \le 0;$

4) $f(x)=\frac{1}{x+1}, x \le 0.$

Запишите формулу, определяющую функцию $f(x)$, и постройте график этой функции.

По условию, функция $y=f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для каждого случая мы используем данную часть формулы для нахождения второй части, а затем строим график.

1) $f(x) = \sqrt{x}$, при $x \ge 0$.

Нам дана формула для неотрицательных значений $x$. Чтобы найти формулу для отрицательных $x$ (т.е. $x < 0$), воспользуемся свойством четности: $f(x) = f(-x)$.

Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. Значит, для аргумента $-x$ мы можем использовать данную формулу $f(t) = \sqrt{t}$, подставив $t = -x$.

Получаем: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать в более компактном виде: $f(x) = \sqrt{|x|}$.

График функции состоит из двух ветвей. При $x \ge 0$ это график функции $y=\sqrt{x}$, а при $x < 0$ — график функции $y=\sqrt{-x}$, который является зеркальным отражением первой ветви относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, или $f(x) = \sqrt{|x|}$. График представлен выше.

2) $f(x) = x^2 - 3x$, при $x \ge 0$.

Нам дана формула для $x \ge 0$. Чтобы найти формулу для $x < 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) = x^2 + 3x$ при $x < 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = x^2 - 3|x|$.

График функции при $x \ge 0$ — это часть параболы $y=x^2-3x$ с вершиной в точке $(1.5, -2.25)$. При $x < 0$ — это часть параболы $y=x^2+3x$ с вершиной в точке $(-1.5, -2.25)$. Итоговый график симметричен относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, или $f(x) = x^2 - 3|x|$. График представлен выше.

3) $f(x) = x^2 - 2x$, при $x \le 0$.

Нам дана формула для $x \le 0$. Чтобы найти формулу для $x > 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x > 0$, то $-x < 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$ при $x > 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = x^2 + 2|x|$.

График функции при $x \le 0$ — это часть параболы $y=x^2-2x$. При $x \le 0$ эта ветвь параболы идет вверх от точки $(0,0)$. При $x > 0$ — это часть параболы $y=x^2+2x$, которая также идет вверх от $(0,0)$ и является зеркальным отражением первой части.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$, или $f(x) = x^2 + 2|x|$. График представлен выше.

4) $f(x) = \frac{1}{x+1}$, при $x \le 0$.

Нам дана формула для $x \le 0$. Область определения этой части функции — $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$. Чтобы найти формулу для $x > 0$, используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$.

Так как $x > 0$, то $-x < 0$. Подставляем $-x$ в данную формулу:

$f(x) = f(-x) = \frac{1}{(-x)+1} = \frac{1}{1-x}$ при $x > 0$.

Область определения этой части функции — $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается системой:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0, x \ne -1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0, x \ne 1 \end{cases}$

Эту формулу можно записать как $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$. Функция имеет две вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$. График симметричен относительно оси OY.

График функции:

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \le 0, x \ne -1 \\ \frac{1}{1-x}, & \text{если } x > 0, x \ne 1 \end{cases}$, или $f(x) = \frac{1}{1-|x|}$. График представлен выше.